Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，a2+c2-b2=

1

2

ac．
（Ⅰ）求sin2

A+C

2

+cos2B的值；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由余弦定理和題設條件求得cosB的值，進而利用誘導公式和二倍角公式對sin2

A+C

2

+cos2B化簡整理，最后把cosB的值代入即可求得答案．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中cosB的值，可求得sinB的值，進而通過a2+c2-b2=

1

2

ac．利用基本不等式求得ac的范圍，最后利用三角形面積公式，求得三角形面積最大值．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理：cosB=

1

4

sin2

A+C

2

+cos2B=sin2(

π

2

-

B

2

)+2cos2B-1
=cos2

B

2

+2cos2B-1
=

1+cosB

2

+2cos2B-1
=-

1

4

（Ⅱ）由cosB=

1

4

，得sinB=

15

4

．
∵b=2，a2+c2-b2=

1

2

ac
∴a2+c2=

1

2

ac+b2=

1

2

ac+4≥2ac，從而ac≤

8

3

故S△ABC=

1

2

acsinB≤

15

3

（當且僅當a=c時取等號）

點評：本題主要考查了余弦定理的應用，同角三角函數(shù)的基本關系，二倍角公式的化簡求值．考查了學生分析推理和基本運算的能力．