【題目】已知為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，且面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證:以 為直徑的圓與直線恒相切.

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析: （1）由題意知知，由此能求出橢圓的方程；
（2）設(shè)直線的方程為，得.，由此利用韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線距離公式、直線與圓相切等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合已知條件能證明當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以 為直徑的圓與直線恒相切．

試題解析：(1)設(shè)橢圓的方程為,

由題意知解之得,

故橢圓的方程為.

(2)證明：設(shè)直線的方程為.

則點(diǎn)坐標(biāo)為中點(diǎn)的坐標(biāo)為.

由得.

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.

.

點(diǎn)坐標(biāo)為,

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

此時(shí)以為直徑的圓與直線相切.

當(dāng)時(shí)，則直線的斜率.

直線的方程為.

點(diǎn)E到直線的距離.

又因?yàn)?/span>.

故以為直徑的圓與直線相切.

綜上得，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓與直徑恒相切.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】甲、乙兩人各擲一個(gè)均勻的骰子，觀察朝上的面的點(diǎn)數(shù)，記事件A：甲得到的點(diǎn)數(shù)為2，B：乙得到的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù).

（1）求，，，判斷事件A與B是否相互獨(dú)立；

（2）求.

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【題目】為迎接年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，普及冬奧知識(shí)，某校開展了“冰雪答題王”冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．現(xiàn)從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生，將他們的比賽成績(jī)（滿分為分）分為組：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）記表示事件“從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該學(xué)生的比賽成績(jī)不低于分”，估計(jì)的概率；

（Ⅲ）在抽取的名學(xué)生中，規(guī)定：比賽成績(jī)不低于分為“優(yōu)秀”，比賽成績(jī)低于分為“非優(yōu)秀”．請(qǐng)將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為“比賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計(jì)

男生

女生

合計(jì)

參考公式及數(shù)據(jù)：，．

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【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，．

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【題目】某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]

（Ⅰ）求圖中的值，并估計(jì)該班期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)；

（Ⅱ）從成績(jī)不低于90分的學(xué)生和成績(jī)低于50分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，求這2人成績(jī)均不低于90分的概率．

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【題目】某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口的O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇．

（I）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？

（II）為保證小艇在30分鐘內(nèi)（含30分鐘）能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值．

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【題目】某縣共有90間農(nóng)村淘寶服務(wù)站，隨機(jī)抽取5間，統(tǒng)計(jì)元旦期間的網(wǎng)購金額(單位：萬元)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù).

（1）根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本均值；

（2）若網(wǎng)購金額(單位：萬元)不小于18的服務(wù)站定義為優(yōu)秀服務(wù)站，其余為非優(yōu)秀服務(wù)站.根據(jù)莖葉圖推斷90間服務(wù)站中有幾間優(yōu)秀服務(wù)站？

（3）從隨機(jī)抽取的5間服務(wù)站中再任取2間作網(wǎng)購商品的調(diào)查，求恰有1間是優(yōu)秀服務(wù)站的概率.

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【題目】[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．已知直線l的參數(shù)方程是 (t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cos θ，求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)．

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