Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=a（S_n-a_n+1）（a為常數(shù)，a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=|a|+loga

a

an

，若數(shù)列{b_n}的前n項和S_n中，S₅為最大值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當 n≥2時，由 S_n=a（S_n-a_n+1）可得，s_n-1=a（s_n-1-a_n-1+1）．兩式相減得：a_n=a a_n-1，即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且首項為a，公比為a，由此求得{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）化簡數(shù)列{b_n}=|a|+1-n，可得 b_n+1-b_n=-1，即數(shù)列{b_n}為以 a為首項，公差為-1的等差數(shù)列．由

b5≥0 b6≤0

，解不等式求得a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）s₁=a（s₁-a₁+1），∴a₁=a．…（1分）
當 n≥2時，由 S_n=a（S_n-a_n+1）可得，s_n-1=a（s_n-1-a_n-1+1）．
兩式相減得：a_n=a a_n-1，…（3分）
由于a為常數(shù)，a＞0且a≠1，∴

an

an-1

=a，…（4分）
即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，∴a_n=a a^n-1=aⁿ． …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=|a|+loga

a

an

=|a|+1-n，
∴b_n+1=|a|-n，b_n+1-b_n=-1，
即數(shù)列{b_n}為以 a為首項，公差為-1的等差數(shù)列． …（8分）
由題意數(shù)列{b_n}為遞減數(shù)列且S₅為最大值，∴

b5≥0 b6≤0

，…（10分）
即

-5+|a|+1≥0 -6+|a|+1≤0

，又a＞0，解得4≤a≤5．…（14分）

點評：本題主要考查等比關系、等差關系的確定，數(shù)列的函數(shù)特性，屬于中檔題．