Question

已知（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ的展開(kāi)式前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開(kāi)式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)是（　　）

• A、1
• B、0
• C、3
• D、與n有關(guān)

Answer 1

分析：利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，令x的指數(shù)為整數(shù)時(shí)求出r，即得到有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)．

解答：解：展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr+1=(

1

2

)r

C

r n

x

2n-3r

4

所以前三項(xiàng)的系數(shù)分別是1，

n

2

，

n(n-1)

8

據(jù)題意得1+

n(n-1)

8

=2×

n

2

=n，
解得n=8，
所以展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)_r+1=（

1

2

）^rC

r 8

x

16-3r

4

，
 當(dāng)

16-3r

4

=4-

3r

4

為整數(shù)時(shí)為有理項(xiàng)
所以當(dāng)r=0，4，8時(shí)為有理項(xiàng)
則展開(kāi)式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)是3
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題．