【題目】數(shù)列a1,a2……an是正整數(shù)1,2,……,n的任一排列,且同時滿足以下兩個條件:

①a1=1;②當(dāng)n≥2時,|ai-ai+1|≤2(i=1,2,…,n-1).

記這樣的數(shù)列個數(shù)為f(n).

(I)寫出f(2),f(3),f(4)的值;

(II)證明f(2018)不能被4整除.

【答案】f(2)=1,f(3)=2,f(4)=4;(見解析.

【解析】試題分析:Ⅰ)根據(jù)題意,由f(n)的定義,計算即可得答案;
Ⅱ)根據(jù)題意,把滿足條件①②的數(shù)列稱為n項的首項最小數(shù)列,對于n個數(shù)的首項最小數(shù)列,由于a1=1,故a2=23;分析可得遞推關(guān)系為f(n)=f(n-1)+f(n-3)+1,進(jìn)而求出f(2),f(3),…,f(2018)各數(shù)被4除的余數(shù),分析可得它們構(gòu)成14為周期的數(shù)列,即可得結(jié)論.

試題解析:

(Ⅰ)解:(Ⅰ)根據(jù)題意,①a1=1;②當(dāng)n2時, |ai-ai+1|≤2(i=1,2,…,n1);

f(2)=1,f(3)=2,f(4)=4.

(Ⅱ)證明:把滿足條件①②的數(shù)列稱為n項的首項最小數(shù)列.

對于n個數(shù)的首項最小數(shù)列,由于a1=1,故a2=23.

1)若a2=2,則a2-1,a3-1,,an-1構(gòu)成n-1項的首項最小數(shù)列,其個數(shù)為f(n-1);

2)若a2=3,a3=2,則必有a4=4,故a4-3,a5-3,……,an-3構(gòu)成n-3項的首項最小數(shù)列,其個數(shù)為f(n-3)

3)若a2=3,a3=4a3=5.設(shè)ak+1是這數(shù)列中第一個出現(xiàn)的偶數(shù),則前k項應(yīng)該是1,3,,2k-1,ak+12k2k-2,即akak+1是相鄰整數(shù).

由條件②,這數(shù)列在ak+1后的各項要么都小于它,要么都大于它,因為2ak+1之后,故ak+1后的各項都小于它.

這種情況的數(shù)列只有一個,即先排遞增的奇數(shù),后排遞減的偶數(shù).

綜上,有遞推關(guān)系:f(n)=f(n-1)+f(n-3)+1,n≥5.

由此遞推關(guān)系和(I)可得,f(2),f(3),,f(2018)各數(shù)被4除的余數(shù)依次為:

11,20,2,1,2,13,20,03,0,1,1,2,0,

它們構(gòu)成14為周期的數(shù)列,又2018=14144+2,

所以f(2018)4除的余數(shù)與f(2)4除的余數(shù)相同,都是1,

f(2018)不能被4整除.

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