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【題目】已知函數為常數).

(Ⅰ)討論函數的單調性;

(Ⅱ)是否存在正實數,使得對任意,都有,若存在,求出實數的取值范圍;若不存在,請說明理由;

(Ⅲ)當時, ,對恒成立,求整數的最大值.

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析;(Ⅲ)2.

【解析】

(Ⅰ)由,討論導數的正負,從而可得函數的單調性;

(Ⅱ)由正實數a,結合(Ⅰ)的單調性可得,即g(x)=f(x)+上單調遞減,求導可得a恒成立,分析不等式右邊函數的最值即可;

(Ⅲ)由題意得lnx恒成立,當x=1時,b; 又 b,通過證明b=2時不等式成立即可得解.

(Ⅰ)∵,

∴(。┤,則恒成立f(x)在上單調遞增;

(ⅱ)若,則

,解得;令,解得

上單調遞減,在上單調遞增.

綜上:當時,f(x)在上單調遞增;

時,f(x)在上單調遞減,在上單調遞增.

(Ⅱ)滿足條件的a不存在.理由如下:

,由(Ⅰ)可知,函數f(x)=alnx+為增函數;

不妨設

,即

∴由題意:g(x)=f(x)+上單調遞減,

上恒成立,即a恒成立;

上單調遞減;

∴a;故滿足條件的正實數a不存在.

(Ⅲ)當a=1時,使恒成立

即lnx恒成立.

∴ 當x=1時,b; 又 b

下面證明:當b=2時,lnx恒成立.

當b=2時,lnx

設g(x)=,則

易知: ,

∴當時,;當時,

∴g(x)

即當b=2時,lnx恒成立.∴

練習冊系列答案
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X1的數字期望EX1=6,求a,b的值;

II)為分析乙廠產品的等級系數X2,從該廠生產的產品中隨機抽取30件,相應的等級系數組成一個樣本,數據如下:

3 5 3 3 8 5 5 6 3 4

6 3 4 7 5 3 4 8 5 3

8 3 4 3 4 4 7 5 6 7

用這個樣本的頻率分布估計總體分布,將頻率視為概率,求等級系數X2的數學期望.

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