Question

已知F為拋物線y²=4x的焦點，定點M的坐標(biāo)為（a，0）（a為常數(shù)，a＞0且a≠1），過點F作斜率為k（k＞0）的直線與拋物線交于A、B兩點，延長AM、BM，分別交拋物線于C、D兩點（不同于A、B）．
（Ⅰ）若k=1，求直線CD的斜率；
（Ⅱ） 若k∈（0，+∞），求△MCD的面積的取值范圍．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）將直線AB的方程y=k（x-1）代入y²=4x，利用韋達(dá)定理，確定C，D的坐標(biāo)，利用點差法，即可求直線CD的斜率；
（Ⅱ） 求出|AB|，點M到直線AB的距離，可得面積，進而可求△MCD的面積的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ） 將直線AB的方程y=k（x-1）代入y²=4x，可得ky²-4y-4k=0，并且△=16（1+k²）＞0恒成立．
若設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1+y2=

4

k

， y1y2=-4．      ①
又設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），由A、M、C三點共線可得

y1

x1-a

=

y3

x3-a

  ⇒  y1x3-y3x1=a(y1-y3)
將x3=

y 2 3

4

， x4=

y 2 4

4

代入上式可得(y1-y3)(a+

y1y3

4

)=0．
又因為y₁≠y₃，所以a+

y1y3

4

=0．即知y3=-

4a

y1

，
同理可得y4=-

4a

y2

．
聯(lián)系①式可得y3+y4=-4a(

1

y1

+

1

y2

)=

4a

k

，  y3y4=

16a2

y1y2

=-4a2②
設(shè)直線CD的斜率為m，由

y

2 3

=4x3， 

y

2 4

=4x4
兩式相減可得，m=

y3-y4

x3-x4

=

4

y3+y4

=

k

a

特別地，當(dāng)k=1時，m=

1

a

．                                   …（6分）
（Ⅱ） |AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+ 1 k2

|y1-y2|=

1+ 1 k2

•

16+16k2

|k|

，
點M到直線AB的距離d=

|k(a-1)|

1+k2

，
故△MAB的面積為S△MAB=

1

2

•|AB|•d=

1

2

•

1+ 1 k2

•

16+16k2

|k|

•

|k(a-1)|

1+k2

=2|a-1|•

1+ 1 k2

．
注意到  

S△MCD

S△MAB

=

1 2 •|MC|•|MD|•sin∠CMD

1 2 •|MA|•|MB|•sin∠AMB

=

|MC|

|MA|

•

|MD|

|MB|

=

|y3y4|

|y1y2|

=

16a2

y 2 1 y 2 2

=a2，
所以S△MCD=a2•S△MAB=2a2|a-1|•

1+ 1 k2

．
因為

1+ 1 k2

∈(1，+∞)，所以△MCD的面積的取值范圍是（2a²|a-1|，+∞）．…（15分）

點評：本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力．