Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1+x

．
（Ⅰ）求函數(shù)λ=[f（x）+f（-x）]²的值域；
（Ⅱ）設(shè)a為實數(shù)，記函數(shù)h（x）=f（x）+f（-x）+af（x）•f（-x）的最大值為H（a）．
（�。┣驢（a）的表達式；
（ⅱ）試求滿足H（a）=H（

1

a

）的所有實數(shù)a．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）利用根式的意義求出函數(shù)λ（x）的定義域，再根據(jù)單調(diào)性即可得出值域；
（II）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，通過對a分類討論即可得出；
（III）由（II）可得H(

1

a

)=

2+ 1 a ，a＞0 2 ，a＜0

．再對a分類討論即可得出．

解答： 解：（I）λ=[f（x）+f（-x）]²=(

1+x

+

1-x

)2=2+2

1-x2

．
要使λ由意義，必須滿足

1+x≥0 1-x≥0

，解得-1≤x≤1．
∴0≤1-x²≤1．
∴2≤λ≤4．
∴函數(shù)λ（x）的值域為[2，4]．
（II）函數(shù)h（x）=f（x）+f（-x）+af（x）•f（-x）=

1+x

+

1-x

+a

1-x2

，（-1≤x≤1）．
（i）當-1＜x＜1時，h′（x）=

1

2 1+x

-

1

2 1-x

-

ax

1-x2

=

-ax

1-x2

，
①當a＞0時，當0＜x＜1時，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；當-1＜x＜0時，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增．
∴當x=0時，函數(shù)h（x）取得最大值，h（0）=2+a．
②當a＜0時，當0＜x＜1時，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；當-1＜x＜0時，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．
又函數(shù)h（x）在x=±1時連續(xù)，而h（-1）=h（1）=

2

，此時函數(shù)h（x）取得最大值，h（1）=

2

．
③當a=0時，由（I）可得：h（x）的值域為[

2

，2]，可知函數(shù)h（x）的最大值為2．
綜上可得：函數(shù)h（x）的最大值H（a）=

2+a，a＞0 2，a=0 2 ，a＜0

．
（III）由（II）可得H(

1

a

)=

2+ 1 a ，a＞0 2 ，a＜0

．
當a＜0時，H(a)=H(

1

a

)都成立，因此a＜0滿足條件．
當a＞0時，由2+a=2+

1

a

，解得a=1．
綜上可得：滿足H（a）=H（

1

a

）的所有實數(shù)a的集合為{a|a＜0}∪{1}．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、根式函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．