Question

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的界．已知函數(shù)f(x)=1+a•(

1

2

)x+(

1

4

)x在區(qū)間[0，+∞）上是以3為界的有界函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：由題意，-3≤1+a•(

1

2

)x+(

1

4

)x≤3，即

a≤2x+1-2-x a≥-4•2x-2-x

對區(qū)間[0，+∞）上任意x恒成立，從而化為最值問題．

解答： 解：由題意，-3≤1+a•(

1

2

)x+(

1

4

)x≤3，
故

a≤2x+1-2-x a≥-4•2x-2-x

對區(qū)間[0，+∞）上任意x恒成立，
設t=2^x，t≥1，記h(t)=-4t-

1

t

，p(t)=2t-

1

t

可知h（t）在區(qū)間上遞減，p（t）在區(qū)間[1，+∞）上遞增，
所以h（t）最大值為-5，p（t）最小值為1-5≤a≤1；
答案：[-5，1]．

點評：本題考查了恒成立問題及學生對新定義的接受與應用能力，屬于中檔題．