Question

方程x³-3x-m=0有且只有兩個不同的實根，則實數(shù)m=

±2

．

Answer 1

分析：方程x³-3x-m=0有且只有兩個不同的實根等價于函數(shù)f（x）=x³-3x和y=m有且只有兩個不同的交點，由導(dǎo)數(shù)工具可畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答：解：方程x³-3x-m=0有且只有兩個不同的實根等價于
函數(shù)f（x）=x³-3x和y=m有且只有兩個不同的交點，
而f′（x）=3x²-3，令3x²-3=0可得x=±1，
當x∈（-∞，-1）時，f′（x）=3x²-3＞0，函數(shù)f（x）=x³-3x單調(diào)遞增，
當x∈（-1，1）時，f′（x）=3x²-3＜0，函數(shù)f（x）=x³-3x單調(diào)遞減，
當x∈（1，+∞）時，f′（x）=3x²-3＞0，函數(shù)f（x）=x³-3x單調(diào)遞增，
故函數(shù)f（x）=x³-3x在x=-1處取到極大值f（-1）=2，在x=1處取到極小值f（1）=-2，
故其圖象如圖所示：
可知m=±2
故答案為：±2

點評：本題考查三次方程的根的個數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點個數(shù)是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．