Question

【題目】己知函數(shù)， ．

(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(II)設(shè)，已知函數(shù)在上是增函數(shù)．

(1)研究函數(shù)上零點的個數(shù)；

(ii)求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析; （Ⅱ）(1)1個;(2) .

【解析】試題分析(1) 對函數(shù)求導,①當時， 在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；②當時， 在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；(2) （1）當時，函數(shù) ， , 在上單調(diào)遞減．又， ，由函數(shù)的零點存在性定理及其單調(diào)性知， 在上零點的個數(shù)為1．（2）由（1）知，當時， ＞0，當時， ＜0．∴當時， =求導，得在， 上恒成立． ①當時， min= 極小值= ，故“在上恒成立”，只需 ．②當時，當時， 在上恒成立，綜合①②知， 的取值范圍是．

試題解析:（Ⅰ）∵，

∴，

①當時，

在時， ，

在時， ，

故在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

②當時，

在時， ，

在時， ，

故在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；

（Ⅱ）（1）當時，函數(shù) ，

求導，得，

當時， 恒成立，

當時， ，

∴ ，

∴在上恒成立，故在上單調(diào)遞減．

又， ，

曲線在[1，2]上連續(xù)不間斷，

∴由函數(shù)的零點存在性定理及其單調(diào)性知，唯一的∈（1，2），使，

所以，函數(shù)在上零點的個數(shù)為1．

（2）由（1）知，當時， ＞0，當時， ＜0．

∴當時， =

求導，得

由函數(shù)在上是增函數(shù)，且曲線在上連續(xù)不斷知：

在， 上恒成立．

①當時， 上恒成立，

即在上恒成立，

記， ，則， ，

當 變化時， ， 變化情況列表如下：

		3
		0
		極小值

∴min= 極小值= ，

故“在上恒成立”，只需 ，即．

②當時， ，

當時， 在上恒成立，

綜合①②知，當時，函數(shù)在上是增函數(shù)．

故實數(shù)的取值范圍是．