Question

將直線l₁：nx+y-n=0和直線l₂：x+ny-n=0（n∈N^*，n≥2）x軸、y軸圍成的封閉圖形的面積記為S_n，則

lim

n→∞

S_n=

 

．

Answer 1

分析：聯(lián)立兩條直線方程求出交點B的坐標(biāo)，因為兩直線分別恒過定點，分別求出圍成圖形的兩條對角線，由兩條對角線垂直，利用四邊形對角線垂直時面積為對角線乘積的一半表示出s_n，求出極限即可．

解答：解：聯(lián)立直線l₁和直線l₂

nx+y-n=0 x+ny-n=0

解得：x=y=

n

n+1

，所以得到B（

n

n+1

，

n

n+1

）；
觀察可得直線l₁過點A（1，0），直線l₂過點C（0，1），
顯然BO⊥AC，根據(jù)勾股定理得AC=

2

，BO=

2

•

n

n+1

，
所以兩直線與x、y軸圍成的封閉圖形的面積記S_n=

1

2

×

2

×

n

n+1

2

=

n

n+1

所以

lim

n→∞

S_n=

lim

n→∞

1

1+ 1 n

=1．
故答案為：1

點評：此題為一道綜合題，要求學(xué)生會求兩直線的交點坐標(biāo)，會根據(jù)對角線垂直求任意四邊形的面積，會進(jìn)行極限的運算．