Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=lna_3n+1，n=1，2…，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和T_n以及T_n的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意可得

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a3+4) 2 =3a2

，可得a₂=2，設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，由a₂=2，可得及S₃=7，可知

2

q

+2+2q=7，解出q可得a_n；
（Ⅱ）易求b_n，可判斷{b_n}為等差數(shù)列，從而可求T_n，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得T_n的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得：

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a3+4) 2 =3a2

，解得a₂=2，
設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，由a₂=2，可得a1=

2

q

，a₃=2q，
又S₃=7，可知

2

q

+2+2q=7，即2q²-5q+2=0，
解得q₁=2，q2=

1

2

，
由題意得q＞1，∴q=2，
∴a₁=1，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為an=2n-1．
（Ⅱ）由于b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，
由（Ⅰ）得a3n+1=23n，
∴bn=ln23n=3nln2，
又b_n+1-b_n=3ln2為常數(shù)，
∴{b_n}為等差數(shù)列，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

n(b1+bn)

2

=

n(3ln2+3nln2)

2

=

3n(n+1)ln2

2

，
故T_n=

3

2

ln2[(n+

1

2

)2-

1

4

]，其中n≥1，n∈N．
∴當(dāng)n=1時T_n取得最小值，T_n的最小值是3ln2．

點(diǎn)評：該題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)、數(shù)列求和等知識，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬中檔題．