Question

（本小題滿分16分） 一個(gè)三角形數(shù)表按如下方式構(gòu)成：第一行依次寫上n(n≥4)個(gè)數(shù)，在上一行的每相鄰兩數(shù)的中間正下方寫上這兩數(shù)之和，得到下一行，依此類推．記數(shù)表中第i行的第j個(gè)數(shù)為f(i,j)．

(1)若數(shù)表中第i (1≤i≤n－3)行的數(shù)依次成等差數(shù)列，求證：第i+1行的數(shù)也依次成等差數(shù)列；

(2)已知f(1,j)=4j，求f(i,1)關(guān)于i的表達(dá)式；

(3)在(2)的條件下，若f(i,1)=(i+1)(a_i－1)，b_i= ，試求一個(gè)函數(shù)g(x)，使得

S_n=b₁g(1)+b₂g(2)+…+b_ng(n)＜，且對(duì)于任意的m∈(,)，均存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)n＞時(shí)，都有S_n >m.

Answer 1

 (1)數(shù)表中第行的數(shù)依次所組成數(shù)列的通項(xiàng)為，則由題意可得

 

 (其中為第行數(shù)所組成的數(shù)列的公差) ． 

(2)，第一行的數(shù)依次成等差數(shù)列，由(1)知，第2行的數(shù)也依次成等差數(shù)列，依次類推，可知數(shù)表中任一行的數(shù)(不少于3個(gè))都依次成等差數(shù)列.

設(shè)第行的數(shù)公差為,則，則

所以

．            

(3)由，可得

所以=  

令,則,所以

要使得，即，只要=，

，，所以只要,

即只要,所以可以令

則當(dāng)時(shí)，都有．所以適合題設(shè)的一個(gè)函數(shù)為．