Question

已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）的極值大于0？若存在，求a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=lnx-ax²+x，可求得f′（x）=，然后對(duì)a分a=0，a＞0，與a＜0分類討論，利用f′（x）＞0，與f′（x）＜0可得其遞增區(qū)間與遞減區(qū)間；
（2）由（1）可知，當(dāng)a＞0，函數(shù)取到極大值，此時(shí)f（x）=0有兩個(gè)不等的根，即有兩個(gè)不等的根構(gòu)造函數(shù)y=lnx與，則兩個(gè)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，從而可求a的取值范圍．
解答：解：（1）∵f（x）=lnx-ax²+x，a∈R，∴f′（x）=-ax+1=（x＞0），
∴當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＜0時(shí)，由于x＞0，故-ax²＞0，于是-ax²+x+1＞0，
∴f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0得，0＜x＜，即f（x）在（0，）上單調(diào)遞增；
由f′（x）＜0得，x＞，即f（x）在（，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）由（1）可知，當(dāng)a＞0，x=時(shí)函數(shù)取到極大值，此時(shí)
∵x→0，f（x）＜0，x→+∞，f（x）＜0
∴f（x）=0有兩個(gè)不等的根
即有兩個(gè)不等的根
即有兩個(gè)不等的根
構(gòu)造函數(shù)y=lnx與，則兩個(gè)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
∵y=lnx過（1，0），的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為
∴，解得a＜2
∴0＜a＜2
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，突出分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想的滲透與應(yīng)用，屬于難題，第二題把有正的極大值的問題轉(zhuǎn)化為圖象開口向下與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，思路巧妙，學(xué)習(xí)中值得借鑒．