Question

如圖所示，已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的軌跡曲線(xiàn)的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，寫(xiě)出曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程；（不要求證明）

（3）直線(xiàn)過(guò)切點(diǎn)與直線(xiàn)垂直，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，證明：直線(xiàn)恒過(guò)一定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)為．

【解析】

試題分析：（1）本題動(dòng)點(diǎn)依賴(lài)于圓上中，本來(lái)這種問(wèn)題可以用動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法求軌跡方程，但本題用動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法會(huì)很繁，考慮到圓的半徑不變，垂直平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，我們可以看出

，是定值，而且，因此點(diǎn)軌跡是橢圓，這樣我們可以利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程寫(xiě)出所求軌跡方程；（2）圓錐曲線(xiàn)的過(guò)其上點(diǎn)的切線(xiàn)方程，橢圓，切線(xiàn)為，

雙曲線(xiàn)，切線(xiàn)為，拋物線(xiàn)，切線(xiàn)為；（3）這題考查同學(xué)們的計(jì)算能力，現(xiàn)圓錐曲線(xiàn)切線(xiàn)有關(guān)的問(wèn)題，由（2）我們知道切線(xiàn)斜率為，則直線(xiàn)的斜率為，又過(guò)點(diǎn)，可以寫(xiě)出直線(xiàn)方程，然后求出點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出直線(xiàn)的方程，接著可從的方程觀察出是不是過(guò)定點(diǎn)，過(guò)哪個(gè)定點(diǎn)？這里一定要小心計(jì)算．

試題解析：（1）點(diǎn)是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn),∴ 

∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（－1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓.

橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為焦距2c=2.  

∴曲線(xiàn)E的方程為　　   5′

（2）曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程是.   8′

（3）直線(xiàn)的方程為，即 .

設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為,

則，解得

直線(xiàn)PD的斜率為

從而直線(xiàn)PD的方程為：

即,從而直線(xiàn)PD恒過(guò)定點(diǎn).   16′

考點(diǎn)：（1）橢圓的定義；（2）橢圓的切線(xiàn)方程；（3）垂直，對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題．