已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）對于任意m，n∈（0，+∞）都有：f（m?n）=f（m）+f（n）成立，
且當x＞1時，f（x）＜0．
（1）求證：1是函數(shù)f（x）的零點；
（2）證明：f（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)；
（3）當f（2）=
1
2
時，求不等式f（x2-3x）＞1的解集．
考點：抽象函數(shù)及其應用,函數(shù)零點的判定定理
專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質及應用
分析：（1）令m=n=1代入f（m?n）=f（m）+f（n）即可解得；
（2）先證明f（
m
n
）=f（m）-f（n）；從而可證明f（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)；
（3）f（4）=f（2）+f（2）=1，從而化不等式f（x2-3x）＞1為f（x2-3x）＞f（4）；利用單調性求解．
解答： 解：（1）證明：令m=n=1；
則f（1）=f（1）+f（1）；
則f（1）=0；
故1是函數(shù)f（x）的零點；
（2）證明：令m•n=1；
則f（1）=f（m）+f（
1
m
）=0；
故f（
1
m
）=-f（m）；
∴f（
m
n
）=f（m）-f（n）；
設0＜x1＜x2；則
x2
x1
＞1；
故f（x2）-f（x1）=f（
x2
x1
）＜0；
故f（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)；
（3）∵f（2）=
1
2
，∴f（4）=f（2）+f（2）=1；
∴不等式f（x2-3x）＞1可化為f（x2-3x）＞f（4）；
故0＜x2-3x＜4；
故-1＜x＜0或3＜x＜4；
故所求不等式f（x2-3x）＞1的解集為（-1，0）∪（3，4）．
點評：本題考查了函數(shù)的性質的應用及不等式的求解，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

方程|log2x-2|+1=|log2x|的解集是（　　）
A、{2，8}
B、{2
2
}
C、{
1
2
，8}
D、{2，
32
，
1
8
}

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

自二面角α-l-β的棱l上任選一點O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，必須具備條件（　�。�
A、AO⊥OB，AO?α，BO?β
B、AO⊥l，BO⊥l
C、AB⊥l，AO?α，BO?β
D、AO⊥l，OB⊥l，AO?α，BO?β

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如果存在實數(shù)x使不等式|x-1|-|x-4|＜k成立，則實數(shù)k的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列結論錯誤的是（　�。�
A、若“p且q”與“?p或q”均為假命題，則p真q假
B、若命題P：?x∈R，x2-x+1＜0，則?P：?x∈R，x2-x+1≥0
C、冪函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點（4，
1
2
），則f（
1
4
）的值為2
D、函數(shù)y=|cos(2x+
π
6
)+
1
2
|的最小正周期為
π
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

先列表，再用五點法畫出函數(shù)y=1-2sinx，x∈[0，2π]的大致圖象．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

方程log
1
2
x=-x+1的根的個數(shù)是（　�。�
A、0個B、1個C、2個D、3個

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2x-1
+a（a∈R）為奇函數(shù)，函數(shù)g（x）=m•2x-m．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在x∈（0，+∞）的單調性并用定義證明；
（3）若在區(qū)間（-∞，0）上，y=f（x）的圖象恒在y=g（x）的圖象的下方，試確定實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

從1，2，3，4，5五個數(shù)中任意取出2個不重復的數(shù)組成一個兩位數(shù)，這個兩位數(shù)是偶數(shù)的概率是（　�。�
A、
1
2
B、
2
5
C、
3
5
D、
2
3

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