Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，PD⊥面ABCD，PD=2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點．
（Ⅰ）求直線DE與面PBC所成的角；
（Ⅱ）求二面角P-BF-D的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）求直線DE與面PBC所成的角的關(guān)鍵是作出線面角，因此需找面PBC得垂線，取PC的中點N，連接DN，EN，易得DN⊥面PBC，從而∠DEN為直線DE與面PBC所成的角，故可求；
（Ⅱ）過D作DM⊥BF，交BF的延長線于M，連接PM，則易得∠PMD為二面角P-BF-D的平面角，根據(jù)Rt△DMF與Rt△BAF相似，可求其正切值，從而得解．

解答：解：（Ⅰ）取PC的中點N，連接DN，EN，∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥BC，
又由題意，有BC⊥DC∴BC⊥面PDC，∴面PBC⊥面PDC，
又PD=DC知DN⊥PC，∴DN⊥面PBC，
所以∠DEN為直線DE與面PBC所成的角，…（4分）
由題意DN=

2

，DE=

5

，
所以sin∠DEN=

2

5

=

10

5

，
所求角為arcsin

10

5

…（7分）
（Ⅱ）過D作DM⊥BF，交BF的延長線于M，連接PM，∵PD⊥面ABCD，所以PM在面ABCD內(nèi)的射影為DM，∴PM⊥BF，
所以∠PMD為二面角P-BF-D的平面角…（10分）
由Rt△DMF與Rt△BAF相似，所以

DM

AB

=

DF

BF

⇒DM=

2

5

所以tan∠PMD=

PD

DM

=

5

所求二面角大小為arctan

5

…（13分）

點評：本題以四棱錐為載體，考查線面角、面面角，步驟是：作、證、求，關(guān)鍵是作出相應的角．