Question

已知定義在正整數(shù)集上的函數(shù)f（n）滿足以下條件：
（1）f（m+n）=f（m）+f（n）+mn，其中m，n為正整數(shù)；
（2）f（3）=6．
則f（2013）=______．

Answer 1

解：∵f（m+n）=f（m）+f（n）+mn，f（3）=6．
∴f（2013）=f（2010）+f（3）+3×2010
=f（2007）+2f（3）+3（2007+2010）
=f（2004）+3f（3）+3（2004+2007+2010）
=…
=f（3）+670f（3）+3（2+6+…+2010）
=671f（3）+3×
=2027091
故答案為：2027091
分析：由已知可知f（2013）=f（2010）+f（3）+3×2010=f（2007）+2f（3）+3（2007+2010）=f（2004）+3f（3）+3（2004+2007+2010）=…=f（3）+670f（3）+3（2+6+…+2010），結(jié)合已知及等差數(shù)列的求和公式即可求解
點(diǎn)評：本題主要考查了抽象函數(shù)求解函數(shù)值，及等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用已知函數(shù)關(guān)系進(jìn)行遞推．