Question

若a，b是任意非零的常數(shù)，對于函數(shù)y=f（x）有以下5個命題：
①f（x）是T=2a的周期函數(shù)的充要條件是f（x+a）=f（x-a）；
②f（x）是T=2a的周期函數(shù)的充要條件是f（x+a）=-f（x）；
③若f（x）關(guān)于直線x=

a

2

對稱，且f（x+a）=-f（x），則f（x）是奇函數(shù)；
④若f（x）是奇函數(shù)且是T=2a的周期函數(shù)，則f（x）的圖形關(guān)于直線x=

a

2

 對稱；
⑤若f（x）關(guān)于點（a，0）對稱，關(guān)于直線x=b對稱，則f（x）是T=4（a-b）的周期函數(shù)．
其中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：根據(jù)函數(shù)周期性的定義及充要條件的定義，逐一判斷5個命題的真假，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：對于①，f（x+a）=f（x-a）時，f（x+2a）=f（x），f（x）是T=2a的周期函數(shù)，充分性成立；
反之，若f（x）是T=2a的周期函數(shù)，則f（x+a）=f（x-a）一定成立，必要性成立，故f（x）是T=2a的周期函數(shù)的充要條件是f（x+a）=f（x-a），①正確；
對于②，當f（x+a）=-f（x）時，f（x+2a）=f（x），f（x）是T=2a的周期函數(shù)，必要性成立；反之，f（x）是T=2a的周期函數(shù)時，f（x+a）=-f（x）不一定成立，即充分性不成立；故f（x）是T=2a的周期函數(shù)的必要不充分條件是f（x+a）=-f（x），故②錯誤；
對于③，若f（x）關(guān)于直線x=

a

2

對稱，則f（a+x）=f（-x），又由f（x+a）=-f（x），可得f（x）=-f（-x），即f（x）是奇函數(shù)，故③正確；
對于④，若f（x）是奇函數(shù)且是T=2a的周期函數(shù)，則f（x）的圖形不一定是軸對稱圖象，故④錯誤； 
對于⑤，由條件圖象關(guān)于點（a，0）對稱，故-f（x）=f（2a-x），
又圖象關(guān)于直線x=b對稱，f（2b-x）=f（x），
所以，-f（2b-x）=f（2b-x），即-f（x）=f（2a-2b+x）．
由-f（x）=f（2a-2b+x） 得：
-f（2a-2b+x）=f（4a-4b+x），
∴-（-f（x））=f（4a-4b+x），
因此，f[4（a-b）+x]=f（x），
所以，f（x）是以4（a-b）為周期的函數(shù)．故⑤正確
故答案為：①③⑤．

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)的周期性的性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)周期性的判定方法是解答的關(guān)鍵，屬于難題．