Question

 （本小題滿分16分）

已知等差數(shù)列中，，令，數(shù)列的前項(xiàng)和為.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求證：；

（3）是否存在正整數(shù)，且，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）.（2）.

（3）不存在正整數(shù)，且，使得，，成等比數(shù)列.

綜上，存在正整數(shù)，且，使得，，成等比數(shù)列.（16分）

【解析】(1)由于為等差數(shù)列,并且,易求出的通項(xiàng)公式,(2)在(1)的基礎(chǔ)上可得,則,再采用裂項(xiàng)求和的方示求和.

(3)先假設(shè)，，成等比數(shù)列,則,即,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012091821490150437706/SYS201209182149377851872280_DA.files/image005.png">,所以下面討論按m=2,3,4,5,6,和幾種情況進(jìn)行討論求解.

數(shù)學(xué)II（附加題）

（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，.

解得，，∴.（4分）

（2）∵，，∴

∴

∴.（8分）

（3）由（2）知，，∴，，，

∵，，成等比數(shù)列，∴，即

當(dāng)時(shí)，，，符合題意；

當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；

當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；

當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；

當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；

當(dāng)時(shí)，，則，而，

所以，此時(shí)不存在正整數(shù)，且，使得，，成等比數(shù)列.

綜上，存在正整數(shù)，且，使得，，成等比數(shù)列.（16分）