Question

（2013•永州一模）永州市舉辦科技創(chuàng)新大賽，某縣有20件科技創(chuàng)新作品參賽，大賽組委會(huì)對(duì)這20件作品分別從“創(chuàng)新性”和“實(shí)用性”兩個(gè)方面進(jìn)行評(píng)分，每個(gè)方面評(píng)分均按等級(jí)采用3分制（最低1分，最高3分），若設(shè)“創(chuàng)新性”得分為x，“實(shí)用性”得分為y，得到統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表，若從這20件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件．

x 作品數(shù) y		創(chuàng)  新  性
		1分	2分	3分
實(shí) 用 性	1分	2	0	2
	2分	1	4	1
	3分	2	2	6

（1）求事件A：“x≥2且y≤2”的概率；
（2）設(shè)ξ為抽中作品的兩項(xiàng)得分之和，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）確定事件A：“x≥2且y≤2”的作品數(shù)量，即可求得概率；
（2）方法一：分別求出“創(chuàng)新性”、“實(shí)用性”得分的分布列與期望，即可求得ξ的數(shù)學(xué)期望；
方法二：確定作品的總得分ξ的可能取值，求出其分布列，即可求得ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）從表中可以看出，事件A：“x≥2且y≤2”的作品數(shù)量為7件，
故“x≥2且y≤2”的概率為

7

20

=0.35．                      …（5分）
（2）方法一：由表可知“創(chuàng)新性”得分y有（1分）、（2分）、（3分）三個(gè)等級(jí)，每個(gè)等級(jí)分別有5件，6件，9件，“創(chuàng)新性”得分x的分布列為：

x	1	2	3
p	1 4	3 10	9 20

則“創(chuàng)新性”得分的數(shù)學(xué)期望為Ex=1×

1

4

+2×

3

10

+3×

9

20

=

11

5

=2.2；                         …（8分）
“實(shí)用性”得分y有（1分）、（2分）、（3分）三個(gè)等級(jí)，每個(gè)等級(jí)分別有4件，6件，10件，
“實(shí)用性”得分y的分布列為：

y	1	2	3
p	1 5	3 10	1 2

故“實(shí)用性”得分的數(shù)學(xué)期望為Ey=1×

1

5

+2×

3

10

+3×

1

2

=

23

10

=2.3…（10分）
所以ξ數(shù)學(xué)期望Eξ=E（x+y）=Ex+Ey=2.2+2.3=4.5　　　　　　　  …（12分）
方法二：作品的總得分ξ的可能取值為（2分），（3分），（4分），（5分），（6分），
由表中可知對(duì)應(yīng)的作品數(shù)量分別為2件，1件，8件，3件，6件，…（8分）
則作品的總得分ξ的分布列為：…（10分）

ξ	2	3	4	5	6
P	1 10	1 20	2 5	3 20	3 10

所以ξ數(shù)學(xué)期望為Eξ=2×

1

10

+3×

1

20

+4×

2

5

+5×

3

20

+6×

3

10

=

9

2

=4.5…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．