Question

（2013•永州一模）提高大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)．當(dāng)車流密度不超過50輛/千米時(shí)，車流速度為30千米/小時(shí)．研究表明：當(dāng)50＜x≤200時(shí)，車流速度v與車流密度x滿足v(x)=40-

k

250-x

．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0千米/小時(shí)．
（Ⅰ）當(dāng)0＜x≤200時(shí)，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過橋上觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）f（x）=x•v（x）可以達(dá)到最大，并求出最大值．（精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)

5

≈2.236）

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意，函數(shù)v（x）表達(dá)式為分段函數(shù)的形式，關(guān)鍵在于求函數(shù)v（x）在50≤x≤200時(shí)的表達(dá)式，根據(jù)分式函數(shù)表達(dá)式的形式，用待定系數(shù)法可求得；
（II）先在區(qū)間（0，50]上，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，得最大值為f（50）=1500，然后在區(qū)間[50，200]上用基本不等式求出函數(shù)f（x）的最大值，用基本不等式取等號(hào)的條件求出相應(yīng)的x值，兩個(gè)區(qū)間內(nèi)較大的最大值即為函數(shù)在區(qū)間（0，200]上的最大值．

解答：解：（I）由題意：當(dāng)0＜x≤50時(shí)，v（x）=30；
當(dāng)50≤x≤200時(shí)，由于v(x)=40-

k

250-k

，
再由已知可知，當(dāng)x=200時(shí)，v（0）=0，代入解得k=2000．
故函數(shù)v（x）的表達(dá)式為v(x)=

30，  0＜x≤50 40- 2000 250-x ，50＜x≤200

．…（6分）
（II）依題意并由（I）可得f(x)=

30x，  0＜x≤50 40x- 2000x 250-x ，50＜x≤200

，
當(dāng)0≤x≤50時(shí)，f（x）=30x，當(dāng)x=50時(shí)取最大值1500．
當(dāng)50＜x≤200時(shí)，f（x）=40x-

2000x

250-x

=12000-[40（250-x）+

500000

250-x

]
≤12000-2

40(250-x)× 500000 250-x

=12000-4000

5

≈12000-4000×2.236=3056．
取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)40(250-x)=

500000

250-x

，即x=250-50

5

≈138時(shí)，f（x）取最大值．
（這里也可利用求導(dǎo)來求最大值）
綜上，當(dāng)車流密度為138 輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3056輛/小時(shí)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，屬于中等題．