已知拋物線C：y2=4x，動(dòng)直線l：y=k（x+1）與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)．
（1）求證：
OA
•
OB
是定值；
（2）求滿足
OM
=
OA
+
OB
的點(diǎn)M的軌跡方程．
分析：（1）由題意知k2x2+（2k2-4）x+k2=0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=
4
k2
-2，x1x2=1.
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1+1）（x2+1）=k2+1+k2（
4
k2
-2）+k2=5，所以
OA
•
OB
=5為常數(shù)．?
（2）
OM
=
OA
+
OB
=（x1+x2，y1+y2）=（
4
k2
-2，
4
k
）．?設(shè)M（x，y），則y2=4x+8．由此可知M的軌跡方程為y2=4x+8（x＞2）．
解答：解：由
y2=4x
y=k(x+1)
得k2x2+（2k2-4）x+k2=0．?
由k≠0，且△＞0，得-1＜k＜1，且k≠0．?
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=
4
k2
-2，x1x2=1．?
（1）證明：
OA
•
OB
=x1x2+y1y2
=x1x2+k2（x1+1）（x2+1）?
=（k2+1）x1x2+k2（x1+x2）+k2?
=k2+1+k2（
4
k2
-2）+k2=5，?
∴
OA
•
OB
=5為常數(shù)．?
（2）解：
OM
=
OA
+
OB
=（x1+x2，y1+y2）=（
4
k2
-2，
4
k
）．?
設(shè)M（x，y），則
x=
4
k2
-2
y=
4
k
消去k得y2=4x+8．?
又∵x=
4
k2
-2＞2，故M的軌跡方程為y2=4x+8（x＞2）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4且位于x軸上方的點(diǎn)． A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過(guò)A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過(guò)M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（Ⅲ）以M為圓心，4為半徑作圓M，點(diǎn)P（m，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試討論直線AP與圓M的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：y2=2px（p＞0），F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，A為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作拋物線準(zhǔn)線l的垂線，垂足為Q．
（1）若點(diǎn)P（0，4）與點(diǎn)F的連線恰好過(guò)點(diǎn)A，且∠PQF=90°，求拋物線方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，0）在x軸上，若要使∠MAF總為銳角，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：y2=2Px（p＞0）上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+b（k≠0）與拋物線C交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a＞0），求證：a2=
16(1-kb)k2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：y2=4x，點(diǎn)M（m，0）在x軸的正半軸上，過(guò)M的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）若m=1，且直線l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；
（II）問(wèn)是否存在定點(diǎn)M，不論直線l繞點(diǎn)M如何轉(zhuǎn)動(dòng)，使得
1
|AM|2
+
1
|BM|2
恒為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：y2=8x與點(diǎn)M（-2，2），過(guò)C的焦點(diǎn)，且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若
MA
•
MB
=0，則k=（　　）

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