Question

20．設f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，3]上有最大值1．
（Ⅰ）若c=4，求b的值；
（Ⅱ）當|x|＞2時，f（x）＞0恒成立，求b+$\frac{1}{c}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）圖象開口向上且在區(qū)間（2，3]上有最大值1，得f（3）=1，解出b；
（2）由f（3）=1可得bc之間的關系式和b的取值范圍，然后討論△與0的關系，結合當|x|＞2時，f（x）＞0恒成立進一步確定b的范圍，最后得到b+$\frac{1}{c}$的表達式，求出此表達式的值域即可．

解答 解：（I）c=4時，f（x）=）=x²+bx+4，
f（x）圖象開口向上，對稱軸為x=-$\frac{2}$，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，3]上有最大值1，
f（3）=1，即5+b=1，解得b=-4．
（II）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，3]上有最大值1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}≤\frac{5}{2}}\\{f（3）=1}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{b≥-5}\\{9+3b+c=1}\end{array}\right.$，
∴c=-8-3b．
∴△=b²-4c=b²+12b+32=（b+6）²-4．
∵b≥-5，∴△≥-3．
①若△=0，即b=-4時，f（x）=0的解為x=-$\frac{2}$=2，符合題意，
②若△＜0，即-5≤b＜-4時，f（x）＞0恒成立，符合題意，
③若△＞0，即b＞-4時，
∵當|x|＞2時，f（x）＞0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2＜-\frac{2}＜2}\\{f（2）≥0}\\{f（-2）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2＜-\frac{2}＜2}\\{4+2b-8-3b≥0}\\{4-2b-8-3b≥0}\end{array}\right.$，無解．
綜上，-5≤b≤-4．
∴b+$\frac{1}{c}$=b-$\frac{1}{8+3b}$．
令g（b）=b-$\frac{1}{8+3b}$，則g′（b）=1+$\frac{3}{（8+3b）^{2}}$＞0，
∴g（b）在（-5，-4]上是增函數(shù)，
∵g（-5）=-$\frac{34}{7}$，g（-4）=-$\frac{15}{4}$，
∴b+$\frac{1}{c}$的取值范圍是[-$\frac{34}{7}$，-$\frac{15}{4}$]．

點評 本題考查了二次不等式與二次函數(shù)的關系，確定b的范圍是解題關鍵．