Question

多面體AEDBFC的直觀圖及三視圖如圖所示，M、N分別為AF、BC的中點．

⑴求證：MN∥平面CDEF；

⑵求多面體A—CDEF的體積；

⑶求證：CE⊥AF．

Answer 1

（本題滿分12分）

證明：⑴由多面體AEDBFC的三視圖知，

三棱柱AED—BFC中

底面DAE是等腰直角三角形，

DA＝AE＝2，DA⊥平面ABEF，

側面ABFE，ABCD都是邊長為2的正方形．  1分

連結EB，則M是EB的中點，在△EBC中，MN∥EC，

且EC平面CDEF，MN平面CDEF，

∴MN∥平面CDEF．  4分

⑵因為DA⊥平面ABEF，EF平面ABEF，

∴EF⊥AD，又EF⊥AE，所以，EF⊥平面ADE，

∴四邊形CDEF是矩形，且側面CDEF⊥平面DAE

取DE的中點H，∵DA⊥AE，DA＝AE＝2，∴，

且AH⊥平面CDEF．所以多面體A—CDEF的體積

．   8分

⑶∵DA⊥平面ABEF，DA∥BC，

∴BC⊥平面ABEF，∴BC⊥AF，

∵面ABFE是正方形，∴EB⊥AF，

∴AF⊥面BCE，∴CE⊥AF．    12分