Question

如圖，多面體AEDBFC的直觀圖及三視圖如圖所示，M，N分別為AF，BC的中點．
（1）求證：MN∥平面CDEF；
（2）求多面體A﹣CDEF的體積．

Answer 1

解：（1）證明：由多面體AEDBFC的三視圖知，
三棱柱AED﹣BFC中，底面DAE是等腰直角三角形，
DA=AE=2，DA⊥平面ABEF，
側面ABFE，ABCD都是邊長為2的正方形．
連接EB，則M是EB的中點，
在△EBC中，MN∥EC，
且EC平面CDEF，MN平面CDEF，
∴MN∥平面CDEF．
（2）因為DA⊥平面ABEF，EF平面ABEF，
∴EF⊥AD，又EF⊥AE，
所以，EF⊥平面ADE，
∴四邊形 CDEF是矩形，且側面CDEF⊥平面DAE
取DE的中點H，
∵DA⊥AE，DA=AE=2，
∴，且AH⊥平面CDEF．
所以多面體A﹣CDEF的體積．