Question

8．已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{3}$=1（a＞$\sqrt{3}$）的離心率為$\frac{1}{2}$，拋物線C₂：y²=2px（p＞0）的焦點F是橢圓C₁的右焦點．
（1）求拋物線C₂的方程；
（2）過點F且傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線l與拋物線C₂相交于A，B兩點，當動點D在直線x=-2上移動時，試求△ABD周長c的最小值．

Answer 1

分析 （1）∵橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{3}$=1（a＞$\sqrt{3}$）的離心率為$\frac{1}{2}$，求出橢圓的標準方程，進而求出焦點坐標，可得拋物線C₂的方程；
（2）求出直線與拋物線的交點坐標，利用對稱法，可得△ABD周長c的最小值．

解答 解：（1）∵橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{3}$=1（a＞$\sqrt{3}$）的離心率為$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}-3}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，解得：a²=4，
∴c²=a²-3=1，
即橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1的右焦點F坐標為（1，0），
∵拋物線C₂：y²=2px（p＞0）的焦點F是橢圓C₁的右焦點．
∴$\frac{p}{2}$=1，即p=2，
∴拋物線C₂的方程為：y²=4x
（2）過點F且傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線l方程為：y=$\sqrt{3}$（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y}^{2}=4x\\ y=\sqrt{3}（x-1）\end{array}\right.$得：3x²-10x+3=0，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴A（$\frac{1}{3}$，$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$），B（3，2$\sqrt{3}$），
∴|AB|=$\frac{16}{3}$，
A點關于直線x=2為對稱點為A′（-$\frac{13}{3}$，$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$），

∴c=|AD|+|BD|+|AB|
=|A′D|+|BD|+|AB|
≥|A′B|+|AB|
=$\frac{26}{3}$+$\frac{16}{3}$=14，
∴△ABD周長c的最小值為14．

點評 本題考查的知識點是橢圓的簡單性質，拋物線和橢圓的標準方程，直線與圓錐曲線的位置關系，難度中檔．