Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC=2，底面四邊形ABCD為直角梯形，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，側(cè)棱PB與底面ABCD成30°角，點(diǎn)M是PB上的動點(diǎn)，且（λ∈[0，1]）．
（1）若CM∥平面PAD，求λ的值；
（2）當(dāng)λ為何值時，CM與平面PAD所成的角最大？并求出最大角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）在底面四邊形ABCD中，由∠B=∠C=90°，知AB∥CD，由此能推導(dǎo)出四邊形CDNM是平行四邊形．從而能夠找到點(diǎn)M在線段PB上使PA=4PN處．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，求出平面PAD的法向量，從而可得cos=
設(shè)，分別所在直線所成銳角為θ，則cosθ==×，cosθ最大，θ最小，CM與與平面PAD所成的角φ=最大，故可得結(jié)論．
解答：解：（1）在底面四邊形ABCD中
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
在PA上取點(diǎn)N，使PA=4PN，
連接NM，MC，ND，
在△PAB中，
∵=，∴MN∥AB，MN=AB，
∴四邊形CDNM是平行四邊形，
所以此時的CM∥平面PAD，λ=．
（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB，CD，CP所在的直線分別為x，y，z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，2），A（，4，0），B（2，0，0），C（0，0，0）
設(shè)平面PAD的法向量為=（x，y，z）
由，可得，∴
令z=1，則=（，2，1）
∵，||=2，||=2
∴cos=
設(shè)，分別所在直線所成銳角為θ，則cosθ==×
∵λ∈[0，1]，∴λ=1時，cosθ最大，從而θ最小，CM與與平面PAD所成的角φ=最大
∴sinφ=sin（）=cosθ=
點(diǎn)評：本題考查線面平行，考查線面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行的判定定理，正確運(yùn)用向量方法求解立體幾何問題．