如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P（2，0）且斜率為k的直線l交拋物線y2=2x于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn)．

（1）寫出直線l的方程；

（2）求x1x2與y1y2的值；

（3）求證：OM⊥ON．

解答：

（Ⅰ）解：直線l過點(diǎn)P（2，0）且斜率為k，故可直接寫出直線l的方程為y=k（x﹣2） （k≠0）①

（Ⅱ）解：由①及y2=2x消去y代入可得k2x2﹣2（k2+1）x+4k2=0．②

則可以分析得：點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)x1與x2是②的兩個(gè)根，

由韋達(dá)定理得

又由y12=2x1，y22=2x2得到（y1y2）2=4x1x2=4×4=16，又注意到y(tǒng)1y2＜0，

所以y1y2=﹣4．

（Ⅲ）證明：設(shè)OM，ON的斜率分別為k1，k2，

，

所以證得：OM⊥ON．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C均在⊙O上，點(diǎn)A(
3
5
，
4
5
)，點(diǎn)B在第二象限，點(diǎn)C（1，0）．
（Ⅰ）設(shè)∠COA=θ，求sin2θ的值；
（Ⅱ）若△AOB為等邊三角形，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P（2，0）且斜率為k的直線l交拋物線y2=2x于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn)．
（1）寫出直線l的方程；
（2）求x1x2與y1y2的值；
（3）求證：OM⊥ON．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b，且交拋物線y2=2px（p＞0）于M（x1，y1）、N（x2，y2）兩點(diǎn)（異于原點(diǎn)）．
（1）證明：
1
y1
+
1
y2
=
1
b
；
（2）當(dāng)a=2p時(shí)，求證：OM⊥ON．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（文）如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P（2，0）且斜率為k的直線l交拋物線y2=2x于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)．
（1）求x1x2與y1y2的值；
（2）求證：OA⊥OB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線C1：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，且拋物線C1上點(diǎn)P處的切線與圓C2：x2+y2=1相切于點(diǎn)Q．
（Ⅰ）當(dāng)直線PQ的方程為x-y-
2
=0時(shí)，求拋物線C1的方程；
（Ⅱ）當(dāng)正數(shù)p變化時(shí)，記S1，S2分別為△FPQ，△FOQ的面積，求
S1
S2
的最小值．

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