Question

如圖，O為坐標原點，點A，B，C均在⊙O上，點A(

3

5

，

4

5

)，點B在第二象限，點C（1，0）．
（Ⅰ）設(shè)∠COA=θ，求sin2θ的值；
（Ⅱ）若△AOB為等邊三角形，求點B的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)∠COA=θ，求sin2θ的值，需要先根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義求出θ的不在此列弦余弦值，再利用二倍角的正弦公式展開代入求值；
（Ⅱ）若△AOB為等邊三角形，求點B的坐標，由圖形知點B的坐標即角BOC的正弦余弦值．由此目標確定為得用和角公式求角BOC的正弦余弦值．

解答：解：（Ⅰ）因為cosθ=

3

5

，sinθ=

4

5

，所以sin2θ=2sinθcosθ=

24

25

，
（Ⅱ）因為△AOB為等邊三角形，所以∠AOB=60°，
所以cos∠BOC=cos（∠AOC+60°）=

3-4 3

10

，
同理，sin∠BOC=

4+3 3

10

，
故點B的坐標為(

3-4 3

10

，

4+3 3

10

)．

點評：本題考查二倍角的正弦，任意角三角函數(shù)的定義以及兩角和的正弦公式，涉及到的公式較多，有一定的綜合性．