Question

【題目】已知橢圓，，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，且，構(gòu)成等差數(shù)列，過(guò)橢圓焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為3.

(1)求橢圓的方程；

(2)若存在以原點(diǎn)為圓心的圓，使該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，且，求出該圓的方程.

Answer 1

【答案】(1).(2) 見解析.

【解析】試題分析：（1）由題知得到，進(jìn)而得到離心率，再根據(jù)三個(gè)參數(shù)的關(guān)系得到最終結(jié)果；（2）先由圓的切線的性質(zhì)得到，再由垂直關(guān)系得到，聯(lián)立直線和橢圓得到二次方程，由韋達(dá)定理得到進(jìn)而證得結(jié)果。

解析：

(1)由題知，即，得①

又由，得②，且，綜合解得.

∴橢圓的方程為.

(2)假設(shè)以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓滿足條件.

(i)若圓的切線的斜率存在，并設(shè)其方程為，則，①

由消去，整理得，設(shè)，，有

，又∵，∴，

即，化簡(jiǎn)得.②

由①②求得，所求圓的方程為.

(ii)若的斜率不存在，設(shè)，則，∵，

∴，有，，代入，得，此時(shí)仍有.

綜上，總存在以原點(diǎn)為圓心的圓滿足題設(shè)條件.