Question

如圖，邊長為2的正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將△、△分別沿、折起，使、兩點(diǎn)重合于點(diǎn)，連接，．

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由，證出平面，進(jìn)而證出結(jié)論；（2）方法一：根據(jù)對稱可判斷即為所求，由（1）可證△為直角三角形，再求出邊長即可；方法二：建系，求出平面和平面的法向量，兩法向量的夾角的余弦值即為所求.

試題解析：（1）在正方形中，有，               1分

則，                                               2分

又                                                         3分

∴平面                                                       4分

而平面，∴                                         5分

（2）方法一：連接交于點(diǎn)，連接                            6分

∵在正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，

∴，，

∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，

且                                                             7分

∵正方形的邊長為2，∴，∴                 8分

∴為二面角的平面角          9分

由（1）可得，

∴△為直角三角形        10分

∵正方形的邊長為2，

∴，，

∴，，

又                        11分

∴                                     12分

∴                                          13分

∴二面角的余弦值為                                        14分

方法二：∵正方形的邊長為2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，

∴，

∴                                                             6分

∴，∴                                     7分

由（1）得平面，

∴分別以，，為，，

軸建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，              8分

則，，

，          9分

∴，，

設(shè)平面的一個法向量為，則由，

可取                                                   11分

又平面的一個法向量可取                           12分

∴                          13分

∴二面角的余弦值為.                                  14分.

 

考點(diǎn)：線面垂直的判定及性質(zhì)，二面角的求法.