在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，點A為橢圓的左頂點，橢圓上的點P在第一象限，PF1⊥PF2，⊙O的方程為x2+y2=4
（1）求點P坐標(biāo)，并判斷直線PF2與⊙O的位置關(guān)系；
（2）是否存在不同于點A的定點B，對于⊙O上任意一點M，都有為常數(shù)，若存在，求所以滿足條件的點B的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】分析：（1）利用PF1⊥PF2，以及點P在橢圓上聯(lián)立即可求點P坐標(biāo)以及直線PF2的方程，再利用圓心到直線的距離和半徑相比即可判斷直線PF2與⊙O的位置關(guān)系；
（2）假設(shè)存在，代入為常數(shù)利用等式對所有的點M成立來求滿足條件的點B的坐標(biāo)．
解答：解：（1）設(shè)點P坐標(biāo)（m，n），因為PF1⊥PF2，所以有=0故有⇒．
又因為點P在第一象限
所以P（，）．
故=-2．直線PF2的方程為2x+y-2=0．
又因為（0，0）到直線PF2的距離d=2=r．
故直線PF2與⊙O的位置關(guān)系是相切．
（2）設(shè)B（a，b），M（x，y），為常數(shù)，⇒（x-a）2+（y-b）2=k（x+3）2+ky2．又因為x2+y2=4．
所以有4-2ax-2by+a2+b2-4k-6kx-9k=0⇒x（-2a-6k）-2by+a2+b2+4-13k=0．對所有x，y都成立，所以 ⇒或
又因為定點B不同于點A，故所求點B為（-，0）．
點評：本題是對圓與橢圓知識的綜合考查．當(dāng)判斷直線與圓的位置關(guān)系時，可以利用圓心到直線的距離與半徑的大小相比求解．，也可以把直線與圓的方程聯(lián)立利用對應(yīng)方程的判別式與0的大小關(guān)系求解．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點，點M為C1與C2在第一象限的交點，且|MF2|=
5
3
．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的點N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點，若
OA
•
OB
=0，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點P（2cosx+1，2cos2x+2）和點Q（cosx，-1），其中x∈[0，π]．若向量
OP
與
OQ
垂直，求x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，射線OA在第一象限，且與x軸的正半軸成定角60°，動點P在射線OA上運動，動點Q在y軸的正半軸上運動，△POQ的面積為2
3
．
（1）求線段PQ中點M的軌跡C的方程；
（2）R1，R2是曲線C上的動點，R1，R2到y(tǒng)軸的距離之和為1，設(shè)u為R1，R2到x軸的距離之積．問：是否存在最大的常數(shù)m，使u≥m恒成立？若存在，求出這個m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0（α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t為參數(shù)）
（I）求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程，并說明它表示什么曲線；
（II）求直線l被軌跡C截得的最大弦長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左右兩個焦分別為F1，F(xiàn)2．過右焦點F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的一個頂點為B（0，-b），是否存在直線l：y=x+m，使點B關(guān)于直線l 的對稱點落在橢圓C上，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

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