若P是直角三角形ABC的斜邊BC上的一點，且|
AP
|=2，∠BAP=
π
6
，則|
AB
|+
3
|
AC
|的最小值是（　　）
A、4
3
B、4
C、3+3
3
D、3
3
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：不等式的解法及應用
分析：如圖所示，設B（c，0），B（0，b）．由于|
AP
|=2，∠BAP=
π
6
，可得P(
3
，1)．代入直線BC的方程
x
c
+
y
b
=1可得
3
c
+
1
b
=1．因此|
AB
|+
3
|
AC
|=(c+
3
b)(
3
c
+
1
b
)，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
解答： 解：如圖所示，
設B（c，0），B（0，b），
∵|
AP
|=2，∠BAP=
π
6
，
∴P(
3
，1)．
直線BC的方程為：
x
c
+
y
b
=1．
∵P是直角三角形ABC的斜邊BC上的一點，
∴
3
c
+
1
b
=1．
∴|
AB
|+
3
|
AC
|=(c+
3
b)(
3
c
+
1
b
)
=2
3
+
3b
c
+
c
b
≥2
3
+2
3b
c
•
c
b

=4
3
，當且僅當c=
3
b=2
3
時取等號．
∴|
AB
|+
3
|
AC
|的最小值是4
3
．
故選：A．
點評：本題考查了直線的方程、基本不等式的性質(zhì)，考查了計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（B題）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=
π
2
，AB=AC=AA1=1，D和E分別為棱AC、AB上的動點（不包括端點），若C1E⊥B1D，則線段DE長度的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x，y滿足x+2y=2，那么3x+9y的最小值是（　�。�
A、3B、6C、9D、不存在

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

cos35°cos25°-sin35°sin25°的值為（　�。�
A、
1
2
B、cos10°
C、-
1
2
D、-cos10°

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知|
a
|=3，
b
在
a
方向上的投影為
3
2
，則
a
•
b
=（　�。�
A、3
B、
9
2
C、2
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=sinx-x，x∈[-
π
2
，
π
2
]值域是（　�。�
A、[1-
π
2
，0]
B、[-1，0]
C、[1-
π
2
，
π
2
-1]
D、[0，
π
2
-1]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（B題）下列說法中正確的是（　�。�
A、任何三個不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個基底
B、空間的基底有且僅有一個
C、兩兩垂直的三個非零向量可構(gòu)成空間的一個基底
D、基底{a，b，c}中基向量與基底{e，f，g}中基向量對應相等

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列說法正確的是（　�。�
A、向量
AB
與向量
CD
是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上
B、向量
AB
的長度與向量
BA
的長度相等
C、向量
a
與
b
平行，則
a
與
b
的方向相同或相反
D、單位向量都相等

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知3a2+2b2=5，則y=
2a2+1
•
b2+2
的最大值是（　�。�
A、.
4
6
3
B、.
7
3
4
C、
4
3
3
D、
5
2
3

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