對(duì)于定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f(x)如果同時(shí)滿足以下三條：①對(duì)任意的，總有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立．則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù)．

(Ⅰ)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，求f(0)的值；

(Ⅱ)判斷函數(shù)g(x)＝2x－1是否為理想函數(shù)，并予以證明；

(Ⅲ)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，假定，使得，且f(f(x0))＝x0，求證f(x0)＝x0．

答案：
解析：

　　(1)取得

　　又由①，故　2分

　　(2)顯然，在[0，1]滿足①；滿足②

　　若，，，則

　　

　　

　　故理想函數(shù)．　7分

　　(3)由③知任給、[0，1]，時(shí)

　　事實(shí)上、[0，1]，由知[0，1]

　　

　　若，則前后矛盾；

　　若，則前后矛盾；

　　故．　12分


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f（x），如果同時(shí)滿足以下三條：①對(duì)任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；②f（1）③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，則稱函數(shù)f（x）為理想函數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）為理想函數(shù)，求f（0）的值；
（2）判斷函數(shù)g（x）=2x-1（x∈[0，1]）是否為理想函數(shù)，并予以證明；
（3）若函數(shù)f（x）為理想函數(shù)，假定?x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求證f（x0）=x0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f（x）如果滿足以下三個(gè)條件：①對(duì)任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥2；②f（1）=3；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-2成立．則稱函數(shù)f（x）為理想函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)g（x）=2x+1 （0≤x≤1）是否為理想函數(shù)，并予以證明；
（2）求定義域?yàn)閇0，1]的理想函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（3）某同學(xué)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x=
1
2n
（n∈N）時(shí)，有f（
1
2n
）≤
1
2n
+2，由此他提出猜想：對(duì)一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，請(qǐng)你根據(jù)該同學(xué)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論（或其它方法）來判斷此猜想是否正確，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f（x），若同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：
①f（1）=1； 
②?x∈[0，1]，總有f（x）≥0； 
③當(dāng)x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1時(shí)，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），則稱函數(shù)f（x）為理想函數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）為理想函數(shù)，求f（0）．
（Ⅱ）判斷函數(shù)g（x）=2x-1（x∈[0，1]）和函數(shù)h(x)=sin
π2
x（x∈[0，1]）是否為理想函數(shù)？若是，予以證明；若不是，說明理由．
（III）設(shè)函數(shù)f（x）為理想函數(shù)，若?x0∈[0，1]，使f（x0）∈[0，1]，且f[f（x0）]=x0，求證：f（x0）=x0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足：（1）對(duì)于任意x∈[0，1]，f（x）≥0；（2）f（1）=1；（3）若x1≥0，x2≥0，則f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）問函數(shù)g（x）=f（x）-2x-
1
10
在[
1
2
，1]上是否有零點(diǎn)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

對(duì)于定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f（x），如果同時(shí)滿足以下三條：①對(duì)任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；②f（1）③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，則稱函數(shù)f（x）為理想函數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）為理想函數(shù)，求f（0）的值；
（2）判斷函數(shù)g（x）=2x-1（x∈[0，1]）是否為理想函數(shù)，并予以證明；
（3）若函數(shù)f（x）為理想函數(shù)，假定?x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求證f（x0）=x0．

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