對于定義域為[0,1]的函數(shù)f(x),若同時滿足以下三個條件:
①f(1)=1; 
②?x∈[0,1],總有f(x)≥0; 
③當x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1時,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2),則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù),求f(0).
(Ⅱ)判斷函數(shù)g(x)=2x-1(x∈[0,1])和函數(shù)h(x)=sin
π2
x
(x∈[0,1])是否為理想函數(shù)?若是,予以證明;若不是,說明理由.
(III)設函數(shù)f(x)為理想函數(shù),若?x0∈[0,1],使f(x0)∈[0,1],且f[f(x0)]=x0,求證:f(x0)=x0
分析:(I)賦值可考慮取x1=x2=0,代入f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2),可得f(0)≥f(0)+f(0),由已知f(0)≥0,可得f(0)=0
(II)要判斷函數(shù)g(x)=2x-1,h(x)=sin
π
2
x
(x∈[0,1])在區(qū)間[0,1]上是否為“理想函數(shù),只要檢驗函數(shù)g(x)=2x-1,h(x)=sin
π
2
x
(x∈[0,1]是否滿足題目中的三個條件
(III)由條件③知,任給m、n∈[0,1],當m<n時,由m<n知n-m∈[0,1],f(n)=f(n-m+m)≥f(n-m)+f(m)≥f(m).由此能夠推導出f(x0)=x0
解答:解:(I)取x1=x2=0,代入f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2),可得f(0)≥f(0)+f(0)
即f(0)≤0
由已知?x∈[0,1],總有f(x)≥0可得f(0)≥0,
∴f(0)=0
(II)顯然g(x)=2x-1在[0,1]上滿足g(x)≥0;②g(1)=1.
若x1≥0,x2≥0,且x1+x2≤1,
則有g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]=2x1+x2-1-[(2x1-1)+(2x2-1)]=(2x2-1)(2x1-1)≥0
故g(x)=2x-1滿足條件①②③,所以g(x)=2x-1為理想函數(shù).
對應函數(shù)h(x)=sin
π
2
x
在x∈[0,1]上滿足①h(1)=1; ②?x∈[0,1],總有h(x)≥0;
③但當x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1時,例如x1=
1
2
=x2時,h(x1+x2)=h(1)=1,而h(x1)+h(x2)=2h(
1
2
)=
2
,不滿足條件③,則函數(shù)h(x)不是理想函數(shù).
(III)由條件③知,任給m、n∈[0,1],當m<n時,由m<n知n-m∈[0,1],
∴f(n)=f(n-m+m)≥f(n-m)+f(m)≥f(m).
若f(x0)>x0,則f(x0)≤f[f(x0)]=x0,前后矛盾;
若:f(x0)<x0,則f(x0)≥f[f(x0)]=x0,前后矛盾.
故f(x0)=x0
點評:采用賦值法是解決抽象函數(shù)的性質應用的常用方法,而函數(shù)的新定義往往轉化為一般函數(shù)性質的研究,本題結合指數(shù)函數(shù)的性質研究函數(shù)的函數(shù)的函數(shù)值域的應用,指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應用.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

對于定義域為[0,1]的函數(shù)f(x),如果同時滿足以下三條:①對任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;②f(1)③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù).
(1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù),求f(0)的值;
(2)判斷函數(shù)g(x)=2x-1(x∈[0,1])是否為理想函數(shù),并予以證明;
(3)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù),假定?x0∈[0,1],使得f(x0)∈[0,1],且f(f(x0))=x0,求證f(x0)=x0

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

對于定義域為[0,1]的函數(shù)f(x)如果滿足以下三個條件:①對任意的x∈[0,1],總有f(x)≥2;②f(1)=3;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)-2成立.則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù).
(1)判斷函數(shù)g(x)=2x+1 (0≤x≤1)是否為理想函數(shù),并予以證明;
(2)求定義域為[0,1]的理想函數(shù)f(x)的最大值和最小值;
(3)某同學發(fā)現(xiàn):當x=
1
2n
(n∈N)時,有f(
1
2n
)≤
1
2n
+2,由此他提出猜想:對一切x∈(0,1],都有f(x)<2x+2,請你根據(jù)該同學發(fā)現(xiàn)的結論(或其它方法)來判斷此猜想是否正確,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

對于定義域為[0,1]的函數(shù)f(x)同時滿足:(1)對于任意x∈[0,1],f(x)≥0;(2)f(1)=1;(3)若x1≥0,x2≥0,則f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
(Ⅰ)求f(0)的值;
(Ⅱ)問函數(shù)g(x)=f(x)-2x-
1
10
在[
1
2
,1]上是否有零點?

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

對于定義域為[0,1]的函數(shù)f(x),如果同時滿足以下三條:①對任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;②f(1)③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù).
(1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù),求f(0)的值;
(2)判斷函數(shù)g(x)=2x-1(x∈[0,1])是否為理想函數(shù),并予以證明;
(3)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù),假定?x0∈[0,1],使得f(x0)∈[0,1],且f(f(x0))=x0,求證f(x0)=x0

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