Question

已知AB是拋物線y²=ax（a＞0）的焦點(diǎn)弦，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，則|AB|=    （θ為直線AB的傾斜角）．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)直線AB的方程為x=my+，與拋物線方程聯(lián)解并利用根與系數(shù)的關(guān)系算出x₁+x₂=am²+，結(jié)合拋物線的定義得到|AB|=a（m²+1）=．利用解三角形算出O到AB的距離d=，從而算出S_△AOB=•|AB|•d=．
解答：解：∵拋物線y²=ax（a＞0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（，0）
∴設(shè)直線AB的方程為x=my+，（m是斜率tanθ的倒數(shù)）
代入y²=ax，可得y²-amy-=0
∴y₁+y₂=am，y₁y₂=-，
可得y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=a²m²+，
∵y₁²+y₂²=a（x₁+x₂），∴x₁+x₂=am²+，
∴焦點(diǎn)弦|AB|=x₁+x₂+=am²+a=a（m²+1），
∵m²+1=+1=
∴|AB|=am²+a=
∵∠OFB=θ，得O到AB的距離d=|OF|sinθ=
∴S_△AOB=•|AB|•d=••=
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線焦點(diǎn)弦的傾角，求焦點(diǎn)弦與原點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積，著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、三角函數(shù)化簡(jiǎn)和三角形面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．