【題目】如圖,在四棱錐中,底面ABCD為梯形,AB//CD,,AB=AD=2CD=2,△ADP為等邊三角形.
(1)當PB長為多少時,平面平面ABCD?并說明理由;
(2)若二面角大小為150°,求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.
【答案】(1)當時,平面平面,詳見解析(2)
【解析】
(1)根據(jù)平面和平面垂直可得線面垂直,從而可得,利用直角三角形知識可得的長;
(2)構(gòu)建空間直角坐標系,利用法向量求解直線AB與平面PBC所成角的正弦值.
解:(1)當時,平面平面,
證明如下:在中,因為,所以,
又,,所以平面,
又平面,所以平面平面;
(2)分別取線段的中點,連接,因為為等邊三角形,為的中點,所以,為的中點,所以,
又,所以,故為二面角的平面角,所以,
如圖,分別以的方向以及垂直于平面向上的方向作為軸的正方向,建立空間直角坐標系,
因為,,所以,,,.
可得,,
設(shè)為平面的一個法向量,則有,
即,令,
可得,
設(shè)與平面所成角為,則有
所以直線與平面所成角的正弦值為.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)當時,若直線是函數(shù)的圖象的切線,求的最小值;
(2)設(shè)函數(shù),若在上存在極值,求的取值范圍,并判斷極值的正負.
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【題目】手機支付也稱為移動支付,是指允許用戶使用其移動終端(通常是手機)對所消費的商品或服務(wù)進行賬務(wù)支付的一種服務(wù)方式.隨著信息技術(shù)的發(fā)展,手機支付越來越成為人們喜歡的支付方式.某機構(gòu)對某地區(qū)年齡在15到75歲的人群“是否使用手機支付”的情況進行了調(diào)查,隨機抽取了100人,其年齡頻率分布表和使用手機支付的人數(shù)如下所示:(年齡單位:歲)
年齡段 | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75] |
頻率 | 0.1 | 0.32 | 0.28 | 0.22 | 0.05 | 0.03 |
使用人數(shù) | 8 | 28 | 24 | 12 | 2 | 1 |
(1)若以45歲為分界點,根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“使用手機支付”與年齡有關(guān)?
年齡低于45歲 | 年齡不低于45歲 | |
使用手機支付 | ||
不使用手機支付 |
(2)若從年齡在[55,65),[65,75]的樣本中各隨機選取2人進行座談,記選中的4人中“使用手機支付”的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):
P(K2≥k0) | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式:.
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【題目】如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,點P,Q分別為A1B1,BC的中點.
(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值;
(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值.
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【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典名著,其中有這樣一個問題:“今有圓材,埋在壁中,不知大小.以鋸鋸之,深一寸,鋸道長一尺.問徑幾何?”其意為:今有-圓柱形木材,埋在墻壁中,不知其大小,用鋸去鋸該木材,鋸口深一寸,鋸道長-尺.問這塊圓柱形木材的直徑是多少?現(xiàn)有長為1丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中,截面圖如圖所示(陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分).已知弦尺,弓形高寸,估算該木材鑲嵌在墻體中的體積約為__________立方寸.(結(jié)果保留整數(shù))
注:l丈=10尺=100寸,,.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)是偶函數(shù),求實數(shù)的值;
(2)若函數(shù),關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】2019年是中國成立70周年,也是全面建成小康社會的關(guān)鍵之年.為了迎祖國70周年生日,全民齊心奮力建設(shè)小康社會,某校特舉辦“喜迎國慶,共建小康”知識競賽活動.下面的莖葉圖是參賽兩組選手答題得分情況,則下列說法正確的是( )
A.甲組選手得分的平均數(shù)小于乙組選手的平均數(shù)B.甲組選手得分的中位數(shù)大于乙組選手的中位數(shù)
C.甲組選手得分的中位數(shù)等于乙組選手的中位數(shù)D.甲組選手得分的方差大于乙組選手的的方差
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【題目】已知.(其中實數(shù)).
(1)分別求出p,q中關(guān)于x的不等式的解集M和N;
(2)若p是q的必要不充分條件,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】(2017·江蘇高考)如圖,在三棱錐ABCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求證:(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
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