Question

市場(chǎng)營(yíng)銷人員對(duì)過去幾年某商品的銷售價(jià)格與銷售量的關(guān)系作數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：該商品的價(jià)格上漲x%（x＞0），銷售數(shù)量就減少kx%（其中k為正數(shù)），預(yù)測(cè)規(guī)律將持續(xù)下去．目前該商品定價(jià)為每件10元，統(tǒng)計(jì)其銷售數(shù)量為1000件．
（1）寫出該商品銷售總金額y與x的函數(shù)關(guān)系，并求出當(dāng)k=

1

2

時(shí)，該商品的價(jià)格上漲多少，就能使銷售總額達(dá)到最大？
（2）如果在漲價(jià)過程中只要x不超過100，其銷售總金額就不斷增加，求此時(shí)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意，價(jià)格上漲x%后為（1+x%）×10元，銷售量為（1-

1

2

x%）×1000個(gè)，故可得銷售總額，利用配方法可求得結(jié)論；
（2）價(jià)格上漲x%后為（1+x%）×10元，銷售量為（1-kx%）×1000個(gè)，故可得銷售總額，從而可得函數(shù)的對(duì)稱軸為x=

50-50k

k

，利用在漲價(jià)過程中只要x不超過100，其銷售總金額就不斷增加，建立不等式，即可求得k的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，價(jià)格上漲x%后為（1+x%）×10元，銷售量為（1-

1

2

x%）×1000個(gè)，
故銷售總額y=（1+x%）×10×（1-

1

2

x%）×1000=

1

2

（-x²+100x+20000）=-

1

2

（x-50）²+22500
∴x=50，即商品的價(jià)格上漲50%時(shí)，銷售總額達(dá)到最大；
（2）銷售總額y=（1+x%）×10×（1-kx%）×1000=-kx²+（100-100k）x+10000，函數(shù)的對(duì)稱軸為x=

50-50k

k

∵在漲價(jià)過程中只要x不超過100，其銷售總金額就不斷增加
∴

50-50k

k

≥100，k＞0
∴0＜k≤

1

3

∴k的取值范圍為0＜k≤

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查配方法求函數(shù)的最值，考查函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)關(guān)系式．