在區(qū)間[0，2]內(nèi)隨機取一個數(shù)a，則使得函數(shù)f（x）=
1
3
x3-
1
2
ax2-2a2x+
10
3
有三個零點的概率為（　�。�
A、
1
4
B、
1
3
C、
1
2
D、1
考點：幾何概型
專題：概率與統(tǒng)計
分析：利用導數(shù)求出函數(shù)存在三個零點的等價條件，利用幾何概型的概率公式即可得到結論．
解答： 解：函數(shù)的導數(shù)f′（x）=x2-ax-2a2=（x+a）（x-2a），
∵a是正數(shù)，
∴由f′（x）=（x+a）（x-2a）＞0得x＞2a或x＜-a，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）=（x+a）（x-2a）＜0得-a＜x＜2a，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
則當x=-a時，函數(shù)f（x）取得極大值f（-a）=
7
6
a3+
10
3
＞0，
當x=2a時，函數(shù)f（x）取得極小值f（2a）=-
10
3
a3+
10
3
，
要使f（x）=
1
3
x3-
1
2
ax2-2a2x+
10
3
有三個零點，則函數(shù)的極大值大于0且極小值小于0，
此時只需要極小值f（2a）=-
10
3
a3+
10
3
＜0，解得a＞1，即1＜a≤2，
∴在區(qū)間[0，2]內(nèi)隨機取一個數(shù)a，則使得函數(shù)f（x）有三個零點的概率為
2-1
2-0
=
1
2
，
故選：C
點評：本題主要考查幾何概型的概率計算，以及三次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)導數(shù)求出函數(shù)存在三個零點的等價條件是解決本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），則（　�。�
A、
a
⊥
b
B、
a
∥
b
C、（
a
+
b
）⊥（
a
-
b
）
D、（
a
+
b
）∥（
a
-
b
）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an+n，則a3的值為（　　）
A、2B、3C、4D、5

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

從1，2，3，4，5中任取3個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，共有個數(shù)是（　�。�
A、10B、20C、30D、60

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知過雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦點且傾斜角為45°的直線與雙曲線的右支有兩個交點，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（　　）
A、（1，
3
）
B、（1，
3
]
C、（1，
2
]
D、（1，
2
）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，經(jīng)過AB的平面ABEF與平面ABCD成45°角，經(jīng)過BE的平面BENM與平面ABEF成30°角，則平面BENM與平面ABCD所成二面角的余弦值為（　　）
A、
2
4
B、
6
4
C、
3
4
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD為正三角形，底面為正方形，側面PAD與底面ABCD垂直，M為底面所在平面內(nèi)的一個動點，若動點M到點C的距離等于點M到面PAD的距離，則動點M的軌跡為（　�。�
A、橢圓B、拋物線
C、雙曲線D、直線

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=mx+n，當x∈[a1，b1]時，值域為[a2，b2]，當x∈[a2，b2]時，值域為[a3，b3]，…，當x∈[an-1，bn-1]時，值域為[an，bn]，其中m，n為常數(shù)，a1=0，b1=1
（1）若m=-1，n=0，求an；
（2）若m=3，設數(shù)列{an}與{bn]的前n項和分別為Sn和Tn，求T2014-S2014；
（3）若m=2，n=1，求證：
n
2
-
1
3
＜
b1
b2
+
b2
b3
+…+
bn
n+1b 
＜
n
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx+x2，h（x）=x2-2ax-2alnx
（1）若x=1是函數(shù)h（x）的極值點，求a的值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-ax在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若a＞1，h（x）=e3x-3aex，x∈[0，ln2]，求h（x）的極小值．

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