Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，3），點(diǎn)P（x，y）在不等式組

x+y≥3 2x+y≤6 x+2y≤6

所確定的區(qū)域內(nèi)上運(yùn)動(dòng)，則

|OP|

•cos∠AOP的最小值是

6 13

13

．

Answer 1

分析：先畫(huà)出約束條件

x+y≥3 2x+y≤6 x+2y≤6

的可行域，再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)及點(diǎn)P的坐標(biāo)，將

|OP|

•cos∠AOP的最小值表達(dá)為一個(gè)關(guān)于x，y的式子，即目標(biāo)函數(shù)，然后將可行域中各角點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)的解析式．

解答：解：∵

|OP|

•cos∠AOP=

OA • OP

| OA |

=

2x+3y

22+32

=

13

13

(2x+3y)，
于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求z=2x+3y的最小值，
作出

x+y≥3 2x+y≤6 x+2y≤6

的可行域如圖所示，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，由

x+y=3 2x+y=6

，解得B（3，0）
z=2x+3y取得最小值，z_min=2×3-0=6，
從而

|OP|

•cos∠AOP的最小值為：

6 13

13

．
故答案為：

6 13

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，平面區(qū)域的最值問(wèn)題是線性規(guī)劃問(wèn)題中一類重要題型，在解題時(shí)，關(guān)鍵是正確地畫(huà)出平面區(qū)域，分析表達(dá)式的幾何意義，然后結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想，分析圖形，找出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出答案．