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對于正整數，用表示的最大奇因數，如：，……. 記，其中是正整數.

（I）寫出，，，并歸納猜想與N）的關系式；

（II）證明（I）的結論；

（Ⅲ）求的表達式.

（Ⅰ） 2、6、22    時，（Ⅲ）


解析:

（I），

 

   .   …………..3分

猜想時，.          ………………………………………5分

  （II）證明：若為奇數，則；

     若為偶數，則. 若為奇數，則；反之，若 為

偶數，則可重復上述步驟得到.   ………………………………………..7分

由此可知：時，

   .

 即當時，成立.     ………………………………………..10分

   （Ⅲ）由（I）知，當時，，故有

     

           ，也滿足此式.  ……………………………13分

          故N，且.   

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

13、定義一種運算“*”，對于正整數n滿足以下運算性質：（1）1*1=1，（2）（n+1）*1=3（n*1）則n*1用含n的代數式表示是
n*1=3n-1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于正整數k，用g（k）表示k的最大奇因數，如：g（1）=1，g（2）=1，g（3）=3，…．記an=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n），其中n是正整數．
（I）寫出a1，a2，a3，并歸納猜想an與an-1（n≥2，n∈N）的關系式；
（II）證明（I）的結論；
（Ⅲ）求an的表達式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•寧波模擬）定義一種運算“*”，對于正整數n，滿足以下運算性質：①1*1=2，②（n+1）*1=3（n*1），則n*1的運算結果用含n的代數式表示為
2•3n-1
2•3n-1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2005•靜安區(qū)一模）對于正整數n定義一種滿足下列性質的運算“?”：（1）1?1=2；（2）（n+1）?1=n?1+2n+1．則用含n的代數式表示n?1=
n?1=2n+1-2
n?1=2n+1-2
．

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