Question

對于正整數(shù)k，用g（k）表示k的最大奇因數(shù)，如：g（1）=1，g（2）=1，g（3）=3，…．記a_n=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ），其中n是正整數(shù)．
（I）寫出a₁，a₂，a₃，并歸納猜想a_n與a_n-1（n≥2，n∈N）的關(guān)系式；
（II）證明（I）的結(jié)論；
（Ⅲ）求a_n的表達式．

Answer 1

分析：（I）a₁=g（1）+g（2）=2，a₂=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=2+3+1=6，a₃=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+
g（7）+g（8）=a²+g（5）+g（3）+g（7）+g（4）=6+5+3+7+1=6+4²=22．猜想n≥2時，a_n=a_n-1+4^n-1．
（II）若k為奇數(shù)，則g（k）=k；若k為偶數(shù)，則g（k）=g(k)=g(2-

k

2

)=g(

k

2

)．若

k

2

為奇數(shù)，則g(k)=

k

2

；若

k

2

為偶數(shù)，則可重復上述步驟得到g（k）．由此可知：a_n=4^n-1+a_n-1．當n≥2時，a_n=a_n-1+4^n-1成立．
（Ⅲ）當n≥2時，a_n-a_n-1=4^n-1，故有a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1+a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=4^n-1+4^n-2+…+4+2=

4(1-4n-1)

1-4

+2=

4n+2

3

，由此能求出{a_n}的表達式．

解答：解：（I）a₁=g（1）+g（2）=2，
a₂=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=2+3+1=6．
a₃=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+g（7）+g（8）
=a²+g（5）+g（3）+g（7）+g（4）=6+5+3+7+1=6+4²=22
猜想n≥2時，a_n=a_n-1+4^n-1．

（II）證明：若k為奇數(shù)，則g（k）=k；
若k為偶數(shù)，則g（k）=g(k)=g(2-

k

2

)=g(

k

2

)．若

k

2

為奇數(shù)，則g(k)=

k

2

；
反之，若

k

2

為偶數(shù)，則可重復上述步驟得到g（k）
由此可知：n≥2時，
a_n=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ）
=1+3+5+…（2ⁿ-1）+g（2）+g（4）+g（6）+…g（2ⁿ）
=1+3+5+…+（2ⁿ-1）+g（2）+g（4）+g（6）+…g（2ⁿ）
=

2n-1[1+(2n-1)]

2

+g（1）+g（2）+…g（2^n-1）
=4^n-1+a_n-1．
即當n≥2時，a_n=a_n-1+4^n-1成立
（Ⅲ）由（I）知，當n≥2時，a_n-a_n-1=4^n-1，故有a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1+a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=4^n-1+4^n-2+…+4+2=

4(1-4n-1)

1-4

+2=

4n+2

3

，
a₁也滿足此式．
故an =

4n+2

3

（n∈N，且n≥1）

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，解題時要注意公式的靈活運用，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．