Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2sin（2ωx-

π

6

）+λ（x∈R）的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈（

1

2

，1）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（

π

4

，0），求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）令 2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=

kπ

2ω

+

π

3ω

，k∈z對(duì)稱．再根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱，且ω∈（

1

2

，1），可得ω的值，可得函數(shù)的最小正周期
（2）把點(diǎn)（

π

4

，0）代入函數(shù)的解析式求得λ=0，可得f（x）的解析式，從而求得函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：（1）令 2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，可得x=

kπ

2ω

+

π

3ω

，k∈z，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=

kπ

2ω

+

π

3ω

，k∈z對(duì)稱．
再根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱，且ω∈（

1

2

，1），可得ω=

5

6

．
故函數(shù)的最小正周期為

2π

5 6

=

12π

5

．
（2）若y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（

π

4

，0），可得2sin（2×

5

6

×

π

4

-

π

6

）+λ=0，求得λ=-

2

，
∴f（x）=2sin（

5

3

x-

π

6

）-

2

，故函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-2-

2

，2-

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的對(duì)稱性、周期性、值域，屬于基礎(chǔ)題．