Question

12．下列函數(shù)中，既是定義域上的奇函數(shù)又在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增的是（　�。�

• A． $y=x+\frac{1}{x}$
• B． y=xsinx+cosx
• C． $y={e^x}-\frac{1}{e^x}$
• D． $y=ln\frac{1-x}{1+x}$

Answer 1

分析 根據(jù)單調(diào)性的定義可以判斷函數(shù)$y=x+\frac{1}{x}$在（0，1）上單調(diào)遞減，從而A錯(cuò)誤；根據(jù)奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義時(shí)x=0對應(yīng)的函數(shù)值便可判斷B錯(cuò)誤；根據(jù)奇函數(shù)的定義，以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系便可判斷出C滿足條件；而對于D先分離常數(shù)，然后可根據(jù)單調(diào)性的定義判斷該函數(shù)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，從而D錯(cuò)誤．

解答 解：A．x∈（0，1）時(shí)，$\frac{1}{x}$＞1，∴x增大速度小于$\frac{1}{x}$的減小速度；
∴該函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減；
B．y=xsinx+cosx的定義域?yàn)镽；
x=0時(shí)，y=1≠0；
∴該函數(shù)不是奇函數(shù)；
C．該函數(shù)定義域?yàn)镽，設(shè)y=f（x），則：f（-x）=$\frac{1}{{e}^{x}}-{e}^{x}=-f（x）$；
∴該函數(shù)為奇函數(shù)；
$f′（x）={e}^{x}+\frac{1}{{e}^{x}}＞0$；
∴該函數(shù)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增；
∴該選項(xiàng)正確；
D.$y=ln\frac{1-x}{1+x}=ln（-1+\frac{2}{1+x}）$；
∴x增大時(shí)，$-1+\frac{2}{1+x}$減小，∴y減�。�
∴該函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減．
故選C．

點(diǎn)評 考查函數(shù)單調(diào)性的定義，以及根據(jù)單調(diào)性的定義判斷一個(gè)函數(shù)單調(diào)性的方法，奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)f（x）在原點(diǎn)有定義時(shí)，f（0）=0，以及分離常數(shù)法的運(yùn)用．