Question

（2010•山東模擬）已知函數(shù)f（x）滿足xf（x）=b+cf（x），b≠0，f（2）=-1，且f（1-x）=-f（x+1）對(duì)兩邊都有意義的任意 x都成立
（1）求f（x）的解析式及定義域
（2）寫(xiě)出f（x）的單調(diào)區(qū)間，并用定義證明在各單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)？

Answer 1

分析：（1）由xf（x）=b+cf（x）可求得f（x））=

b

x-c

，由f（1-x）=-f（x+1）可得c值，由f（2）=-1可得b值，由表達(dá)式可得定義域；
（2）借助基本函數(shù)的單調(diào)性易求其單調(diào)區(qū)間，用定義即可證明；

解答：解：（1）由xf（x）=b+cf（x），b≠0，∴x≠c，得f（x）=

b

x-c

，
由f（1-x）=-f（x+1），得

b

1-x-c

=-

b

x+1-c

，解得c=1，
由f（2）=-1，得-1=

b

2-1

，解得b=-1，
∴f（x）=

-1

x-1

=

1

1-x

，
∵1-x≠0，∴x≠1，即f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠1}．
（2）f（x）的單調(diào)區(qū)間為（-∞，1），（1，+∞）且都為增區(qū)間，
證明：當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，設(shè)x₁＜x₂＜1，
則1-x₁＞0，1-x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

1

1-x1

-

1

1-x2

=

x1-x2

(1-x1)(1-x2)

，
∵1-x₁＞0，1-x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增．同理f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求解及單調(diào)區(qū)間的證明，屬基礎(chǔ)題，定義是證明函數(shù)單調(diào)性的基本方法．