Question

定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x），如果對于任意給定的等比數(shù)列{a_n}，{f（a_n）}仍是等比數(shù)列，則稱f（x）為“保等比數(shù)列函數(shù)”．現(xiàn)有定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數(shù)：①f（x）=x²；②f（x）=2^x； ③f（x）=

1

x

；④f（x）=ln|x|，其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的序號為（　�。�

• A、①②
• B、③④
• C、①③
• D、②④

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)新定義，結合等比數(shù)列性質a_na_n+2=a_n+1²，一一加以判斷，即可得到結論．通過積的乘方，即可判斷①；
通過指數(shù)的冪的運算，即可判斷②；通過積的運算即可判斷③；由對數(shù)的運算法則，即可判斷④．

解答： 解：由等比數(shù)列性質知a_na_n+2=a_n+1²，
①f（a_n）f（a_n+2）=a_n²a_n+2²=（a_n+1²）²=f²（a_n+1），故正確；
②f（a_n）f（a_n+2）=2^a_n2^a_n+2=2^a_n+a_n+2≠2^2a_n+1=f²（a_n+1），故不正確；
③f（a_n）f（a_n+2）=

1

an

•

1

an+2

=

1

an+12

=f²（a_n+1），故正確；
④f（a_n）f（a_n+2）=ln|a_n|ln|a_n+2|≠ln|a_n+1|²=f²（a_n+1），故不正確；
故選C．

點評：本題考查等比數(shù)列性質及函數(shù)計算，正確運算，理解新定義是解題的關鍵．