Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，滿足f（2+x）=f（2-x），若函數(shù)y=f（x）在（0，4）上至少有1個(gè)零點(diǎn)，且f（0）=0，則函數(shù)y=f（x）在（-8，10]上至少有（　�。﹤�(gè)零點(diǎn)．

• A、7
• B、9
• C、11
• D、13

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性，根據(jù)函數(shù)函數(shù)的奇偶性和周期性尋找零點(diǎn)即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，滿足f（2+x）=f（2-x），
∴f（2+x）=f（2-x）=f（x-2），
即f（x+4）=f（x），則函數(shù)f（x）是周期4的周期函數(shù)，
∵f（0）=0，∴f（0）=f（4）=f（8）=f（-4）=0，此時(shí)有4個(gè)零點(diǎn)，
設(shè)函數(shù)y=f（x）在（0，4）上的零點(diǎn)為a，則f（0-a）=f（4-a）=f（-a）=f（a）=0，
則得4-a=a，解得a=2，即f（2）=0，則f（-2）=f（2）=0，
則f（2）=f（6）=f（10）=f（-2）=f（-6）=0，此時(shí)有5個(gè)零點(diǎn)，
則函數(shù)y=f（x）在（-8，10]上至少有9個(gè)零點(diǎn)，
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，根據(jù)函數(shù)周期性和奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．