【題目】如圖，三棱柱中，D是的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）若是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且，，平面平面.求平面與側(cè)面所成二面角的正弦值.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）連接，記，連接，證明得到答案.

（2）證明，，兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面和平面的法向量，利用向量夾角公式得到答案.

（1）連接，記，連接，故為中點(diǎn)，

D是的中點(diǎn)，所以，又平面，平面.

故平面.

（2）取邊中點(diǎn)點(diǎn)O，連接，，因?yàn)?/span>，為等邊三角形，，所以，，

又平面平面，且平面平面，

平面，所以，，兩兩互相垂直.

故以O為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

則由題意可知，，.

設(shè)平面的法向量，則，即，

令，解得，得.

顯然平面的一個(gè)法向量為.

∴，

∴二面角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐，底面為平行四邊形，且，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，，且平面平面.

（1）求證：平面平面；

（2）當(dāng)直線(xiàn)與平面所成角的正切值為時(shí)，求四棱錐的體積及平面將四棱錐分成的兩部分的體積比.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為直線(xiàn)的傾斜角），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫(xiě)出曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程，并求時(shí)直線(xiàn)的普通方程；

（2）直線(xiàn)和曲線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】自由購(gòu)是一種通過(guò)自助結(jié)算購(gòu)物的形式．某大型超市為調(diào)查顧客自由購(gòu)的使用情況，隨機(jī)抽取了100人，調(diào)查結(jié)果整理如下：

20以下

[20，30）

[30，40）

[40，50）

[50，60）

[60，70]

70以上

使用人數(shù)

3

12

17

6

4

2

0

未使用人數(shù)

0

0

3

14

36

3

0

（1）現(xiàn)隨機(jī)抽取1名顧客，試估計(jì)該顧客年齡在[30，50）且未使用自由購(gòu)的概率；

（2）從被抽取的年齡在[50，70]使用的自由購(gòu)顧客中，隨機(jī)抽取2人進(jìn)一步了解情況，求這2人年齡都在[50，60）的概率；

（3）為鼓勵(lì)顧客使用自由購(gòu)，該超市擬對(duì)使用自由購(gòu)顧客贈(zèng)送1個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋．若某日該超市預(yù)計(jì)有5000人購(gòu)物，試估計(jì)該超市當(dāng)天至少應(yīng)準(zhǔn)備多少個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某運(yùn)動(dòng)制衣品牌為了成衣尺寸更精準(zhǔn)，現(xiàn)選擇15名志愿者，對(duì)其身高和臂展進(jìn)行測(cè)量（單位：厘米），左圖為選取的15名志愿者身高與臂展的折線(xiàn)圖，右圖為身高與臂展所對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖，并求得其回歸方程為，以下結(jié)論中不正確的為

A. 15名志愿者身高的極差小于臂展的極差

B. 15名志愿者身高和臂展成正相關(guān)關(guān)系，

C. 可估計(jì)身高為190厘米的人臂展大約為189.65厘米，

D. 身高相差10厘米的兩人臂展都相差11.6厘米，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在中，，，，分別為，的中點(diǎn)是由繞直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，，.

（1）證明：平面；

（2）若，棱上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，確定點(diǎn) 的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】中國(guó)古代教育要求學(xué)生掌握“六藝”，即“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”．某校為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，舉行有關(guān)“六藝”的知識(shí)競(jìng)賽．甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行了決賽．決賽規(guī)則：決賽共分場(chǎng)，每場(chǎng)比賽的第一名、第二名、第三名的得分分別為，選手最后得分為各場(chǎng)得分之和，決賽結(jié)果是甲最后得分為分，乙和丙最后得分都為分，且乙在其中一場(chǎng)比賽中獲得第一名，現(xiàn)有下列說(shuō)法：

①每場(chǎng)比賽第一名得分分；

②甲可能有一場(chǎng)比賽獲得第二名；

③乙有四場(chǎng)比賽獲得第三名；

④丙可能有一場(chǎng)比賽獲得第一名.

則以上說(shuō)法中正確的序號(hào)是______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某沙漠地區(qū)經(jīng)過(guò)治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得，，，，.

（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；

（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說(shuō)明理由.

附：相關(guān)系數(shù)r=，≈1.414.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若，解不等式；

（Ⅱ）若不等式至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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